разворачивает изображение к присяжным; на нем оказывается лицо придворного убийцы. ] Кроме того, их можно использовать в классических фокусах: вы даете слабовидящему человеку посмотреть вблизи на некий текст и просите подтвердить, что он не может прочесть его. Затем предлагаете ему показать этот листок зрителям: те, поскольку находятся на удалении, могут прочесть текст, что, по-видимому, подтверждает слабость зрения этого человека. После этого вы забираете у него листок, произносите какое-нибудь заклинание и показываете ему тот же текст с большего расстояния – и человек чудесным образом обретает способность прочесть текст.
В современном мире преобразования Фурье используются на каждом шагу. Например, они тоже являются важным элементом сжатия данных. В телефонной связи необходимо передавать лишь звуки с частотой приблизительно от 150 до 14 000 Гц, так как это более или менее покрывает диапазон звуков, используемых в речи; другие частоты можно отбросить. Как это сделать? Сначала выполним преобразование Фурье звука. Затем отбросим все тонкие (высокочастотные) и грубые (низкочастотные) данные, в точности как при создании Мэрилин и Эйнштейн. Произведем обратное преобразование Фурье – и у нас получится сигнал, который можно передавать по телефонной линии. Тот же принцип действует, например, в онлайн-стриминге.
Преобразование Фурье превращает кристалл в другой кристалл, но существующий в обратном пространстве. Рентгеновская дифракция дает нам фотографию этого двойника из другого мира, и в этом обратном мире, поскольку малое и большое меняются местами, крошечные расстояния между атомами скорее помогают, чем мешают. Рентгеновская дифракция позволила проникнуть в некогда недостижимый мир атомов Кеплера и убедиться, что симметрия снежинок действительно порождается симметрией кристаллической решетки. Эта фотография демонстрирует симметрии расположения атомов кристалла, и именно в этих симметриях заключается источник его способностей.
Оптическая анизотропия кальцита – различное поведение света при распространении в разных направлениях – наделяет его способностью двойного лучепреломления: скорость света изменяется в зависимости от направления. Отсутствие зеркальной симметрии кристалла порождает естественную оптическую активность: плоскость поляризации света поворачивается. Отсутствие инверсионной симметрии сообщает кварцу пьезоэлектрические свойства: пространство сжимается под действием электричества. На самом деле сжимается кристаллическая решетка, но если вы живете на квантовом масштабе, внутри кристалла, равномерно распределенные атомы должны казаться вам приблизительно такими же, каким нам кажется воздух, – повсеместными и воспринимаемыми как пустое пространство.
Хотя все эти эффекты связаны с симметриями кристаллической решетки, интересно отметить, что все они порождаются отсутствием той или иной симметрии. В этом заключается фундаментальный парадокс каждого кристалла: хотя кристаллы определяются присущими им симметриями, на самом деле их определяет отсутствие симметрий, которыми они могли бы обладать. Кристалл – это то, что получается при нарушении симметрий.
Зеркало треснуло
Пытались ли вы когда-нибудь установить яйцо так, чтобы оно оставалось в равновесии, стоя на конце? Существует народное поверье, что это возможно только в определенные дни года, и в течение этого якобы необычного периода по всему миру происходят целые фестивали установки яиц. На самом деле этот миф давно развеян одним физиком, глубоко овладевшим искусством симметрии. Мы уже знакомы с ним: это Укисиро Накайя, создатель искусственных снежинок. Он-то и показал, что равновесная установка яйца – задача одинаково трудная, но выполнимая, в любое время года. Трудность ее связана с симметрией. Яйцо обладает почти совершенной вращательной симметрией: если поворачивать его вокруг продольной оси, его вид остается таким же. Накайя объяснил, что для равновесной установки яйца нужно найти мельчайшие неровности – такие, чтобы скорлупа одновременно соприкасалась со столом в трех точках, а центр тяжести яйца находился над образованным ими треугольником. Если бы симметрия яйца была абсолютной, то единственным способом его установить было бы помещение центра тяжести в точности над концом яйца, что недостижимо на практике. Однако секрет Накайи позволяет вам научиться одному фокусу: если просыпать на стол несколько крупинок соли, на них легко установить яйцо (три крупинки создадут три точки соприкосновения). Сдуйте оставшуюся соль, и всем будет казаться, что яйцо стоит само по себе. Если вы привержены черной магии, вы легко можете превратить этот фокус в тему для прибыльных пари в вашей местной таверне.
Яйцо в равновесии
Неподвижное уравновешенное яйцо симметрично и выглядит одинаково со всех сторон. Когда яйцо начинает катиться, симметрия нарушается: яйцо катится только в одном направлении. Как оно решает в каком? На самом деле яйцо никогда не бывает абсолютно симметричным. К тому же стол не может быть идеально ровным, в воздухе могут быть легкие порывы ветра и так далее. Если бы нам нужно было разработать математическую модель, мы не смогли бы учесть в ней все такие отклонения от идеального состояния, так что нам пришлось бы прибегнуть к некоторой магии и сказать, что яйцо выбирает направление случайным образом. Эту абстракцию называют спонтанным нарушением симметрии: направление выбирается произвольным образом. Это кажется самоочевидным, если только вас не вводит в заблуждение совершенство математических моделей. Притча о буридановом осле предостерегает нас как раз от такого рода ошибок: осел, стоящий ровно посередине между двумя копнами сена, не в состоянии выбрать одну из них и умирает с голоду. Кристаллы растут, потому что они способны выбирать.
В прошлой главе мы говорили о жидкой воде и ее фазовом переходе в газообразный пар. Поговорим теперь о ее фазовом переходе в кристаллический лед. Как мы только что отмечали, замерзание – это пример спонтанного нарушения симметрии, потому что все кристаллы определяются симметриями, которых им недостает. Но если это так, значит, жидкость должна обладать большей симметрией, чем кристалл. Это утверждение может показаться несколько сомнительным: разве кристаллический лед не более симметричен, чем беспорядочная мешанина молекул, образующая жидкую воду? Но на деле вода действительно более симметрична в мокром состоянии. Как такое может быть?
Ответ на эту загадку основывается на следующем соображении, которое может показаться неким жульничеством, но на самом деле представляет собой глубокую и таинственную истину. Симметрии бывают двух типов – дискретные и непрерывные. Равносторонний треугольник обладает дискретной вращательной симметрией: если повернуть его на треть оборота, то есть определенную дискретную величину, его вид останется прежним, но после поворота на меньший угол он будет выглядеть по-другому. Напротив, окружность обладает непрерывной вращательной симметрией: на какой угол ее ни поверни, она выглядит так же, как прежде. Поэтому непрерывные симметрии сильнее, чем дискретные.
Оказывается, именно поэтому жидкостям удается быть симметричнее кристаллов.
Определяющее свойство кристалла состоит в наличии трансляционной симметрии на атомном масштабе: при переносе атомов на дискретное, фиксированное расстояние, равное промежутку между соседними одинаковыми атомами, вид кристалла не изменяется. В случае переноса на меньшее расстояние он будет выглядеть иначе. Но
