вы можете различить на одной из волн нечто похожее на маленькие уши. Если это волны, а не Несси, значит, поверх волн, которые вы видели раньше, должна быть какая-то коротковолновая рябь. При наличии достаточно количества разных волн можно построить полный, совершенно реалистичный профиль Несси[41]. А вот как это работает с рентгеном. Кристаллическая решетка – это всего лишь набор регулярно распределенных точек. Результат ее преобразования Фурье – тоже набор регулярно распределенных точек (тех пятен, которые вы видите на дифракционной рентгенограмме). Вполне логично думать об обоих наборах точек одинаково: регулярно распределенные атомы кристалла называют кристаллической решеткой, а точки на дифракционной картине – «обратной решеткой». Чтобы понять, почему это так, заметим, что при увеличении расстояний между атомами кристалла – скажем, при нагревании кристалла, которое заставляет его расширяться, – точки обратной решетки приближаются друг к другу, точно так же, как при увеличении числа уменьшается число, обратное ему.

Говоря о структурах более общего рода, физики называют «реальным пространством» тот привычный мир, в котором мы живем, и «обратным пространством» мир, который получают преобразованием Фурье, где пространственные и временные величины превращаются в соответствующие им обратные величины. Концепция обратного пространства сложна, но важно помнить основное правило: малое превращается в большое и наоборот.

Чтобы обосновать идею о том, что это действительно отдельное пространство, вернемся к фортепиано, на котором можно сыграть любую из возможных нот. Предположим, вы услышали некий особенно удачный звук – скажем, вой очень одинокого волка – и хотите написать партитуру, которая расскажет вашим коллегам-волшебникам, как его воспроизводить. Поскольку при игре на нашем инструменте нужно удерживать клавиши непрерывно нажатыми, хочется подумать, что в партитуре нужно всего лишь указать, какие клавиши нажимать и с каким усилием. В общем-то, так оно и есть. Можно представить себе партитуру следующего вида: поставим за клавишами лист бумаги и проведем на нем линию, высота которой над каждой клавишей соответствует усилию, с которым на эту клавишу нужно нажать (а если клавиша вообще не используется, линия оказывается на нижнем краю листа). Тогда можно вообразить, что вы уменьшились в размерах и ходите вдоль клавиш: если вы хотите узнать, как участвует в смешанном звуке тот или иной тон, вы просто подходите к соответствующей клавише и измеряете высоту линии. Эта линия похожа на контур горного хребта в обратном пространстве. Если волчий вой был низким, то в области нижних нот горы будут выше.

Я узнал о преобразовании Фурье и рентгеновской дифракции, когда учился в Оксфорде, от профессора Дэвида Кокейна. Кокейн был из Австралии; его дочь работала врачом санитарной авиации и отвечала за участок аутбэка[42] размерами больше Соединенного Королевства. На первых порах концепция обратного пространства кажется пугающей. Вы рефлекторно понимаете, как передвигаться в реальном пространстве, потому что живете в нем всю жизнь. Участок аутбэка размерами больше Соединенного Королевства очень велик, и, если вам нужно попасть в какую-то точку этого участка, вы можете предположить, что придется преодолеть немалое расстояние. В обратном пространстве большое становится малым, и облет обратного аутбэка оказывается делом гораздо более легким, чем обход вашего обратного сада. Чтобы мы осознали эту идею, Кокейн задал нам прочитать «Алису в Стране чудес» – точнее, «Аннотированную “Алису”» Мартина Гарднера. Гарднер был не только признанным популяризатором математики, но и одним из самых видных волшебников XX века. В «Аннотированной “Алисе”» есть примечания, объясняющие математические идеи, скрытые в волшебном мире Алисы[43]. Автор «Алисы в Стране чудес» Льюис Кэрролл был оксфордским математиком, и многие из фантастических эпизодов этой книги содержат математические аллегории. (В ее продолжении, «Алисе в Зазеркалье», также есть классический пример перехода в зеркальный мир.)

Кокейн задал нам прочитать эту книгу, чтобы мы поняли, как попасть в обратное пространство и перемещаться в нем. В одном из эпизодов Алиса не может проникнуть за крошечную дверь. Она находит на столике напиток с этикеткой «Выпей меня». Выпив его, она уменьшается – этот процесс оказывается довольно трудным – и, став меньше, может передвигаться как обычно. Кокейн видел в этом аналогию преобразования Фурье: сам процесс преобразования может быть трудным, но после перехода в уменьшенный мир (обратном пространстве), двигаться в нем так же легко, как и на обычном масштабе (в реальном пространстве). Чтобы вернуться в большой мир, Алисе пришлось совершить некоторые действия – съесть пирожок с ярлыком «Съешь меня»; точно так же для возвращения из обратного пространства в реальное нужно выполнить другую операцию – обратное преобразование Фурье. Правда, пирожок делает Алису больше, чем она была изначально, что не укладывается в нашу аналогию: существуют всего два пространства, реальное и обратное.

То, в каком пространстве вам нужно находиться, зависит от типа колдовской деятельности, которой вы занимаетесь. Как выяснила Алиса, некоторые действия гораздо легче выполнять в одном пространстве, чем в другом. Вот вам пример: профессор Од Олива из Массачусетского технологического института создала магическое изображение, которое издали кажется портретом Мэрилин Монро, а вблизи – портретом Альберта Эйнштейна. Так получается потому, что в этом изображении есть только грубые детали лица Мэрилин и только мелкие детали лица Эйнштейна. Когда я увидел его впервые, я совершенно не понял, как оно сделано. Если работать с исходными изображениями в реальном пространстве, добиться такого эффекта очень непросто. Но потом меня осенило: это легко в обратном пространстве: тонкие детали соответствуют точкам, удаленным от центра, а грубые – точкам, находящимся вблизи центра. Потому что малое становится большим и наоборот. Поэтому методика сводится к следующему: применяем к каждому изображению преобразование Фурье; берем все ближние точки из преобразованной Монро и все дальние точки из преобразованного Эйнштейна; объединяем результаты в обратном пространстве и производим обратное преобразование Фурье, чтобы вернуться в реальное пространство. Вот моя репродукция изображения Олива:

Мэрилин Эйнштейн: вблизи получается Эйнштейн, а издали – Монро

У этого изображения есть практические применения: когда его мельком показывают человеку, он видит только Монро, что демонстрирует, что мозг сначала выявляет грубые черты и лишь потом добавляет подробности. Сотрудники Олива предложили создавать изображения, в которых при близком рассмотрении проступают новые детали (например, многослойные технические чертежи), анимации, действие которых развивается по мере приближения изображения к глазам, и тексты, которые можно прочитать только вблизи, – для обеспечения секретности. Волшебник легко может включить такие изображения в свой арсенал – например, если ему нужно выступить в роли обвинителя некоего нечистоплотного монарха на магическом судебном процессе. «Ваше величество, знаком ли вам этот человек? – спросит он, показывая обвиняемому портрет его друга. – Что-что? Знаком, говорите?» [Медленно