По мере развития квантовой механики старомодную модель миниатюрных солнечных систем сменили такие идеи, как волновая функция. Электроны больше не были крохотными планетами, движущимися сквозь пространство по четко определенным траекториям. Вместо этого они и все прочие крохотные обитатели квантового царства ускользали от наших классических интуиций о том, на что похожи физические объекты. Волновая функция обеспечила нам вероятность, что мы сможем наблюдать их в каком-либо конкретном месте, если нам случится туда взглянуть. Если мы не смотрим, они находятся… везде и нигде. Приняв понятие волновой функции, можно было гораздо хитроумнее разрешить парадокс радиации. Электроны не двигались по орбитам. У них вовсе не было никаких орбит в классическом понимании этого слова.

Хотя электроны не следовали по орбитальным путям, они пребывали в квантованном множестве допустимых энергетических уровней. Им приходилось там оставаться, поскольку наблюдаемый дискретный спектр был неизменен! В значительных областях современной квантовой теории очень активно используется теория групп, математика симметрии. Одним из способов, которым физики пользуются для вычисления энергетических уровней атома водорода, является сочетание волн вероятности Шрёдингера с группой Ли, состоящей из вращений в четырех измерениях. Хотя геометрия четырехмерна, группа эта является шестимерной, поскольку для определения вращения нужны шесть параметров. Почему именно шесть – требует слишком технического объяснения для этой книги, но это связано с размером матриц, отображающих операторы вращения. В двух измерениях, когда мы вращаем круг, группа Ли одномерна; в трех измерениях, при вращении сферы, группа тоже трехмерна; а при более высокой размерности пространства стремительно возрастает число измерений группы. Хотя математическое обоснование наличия у группы шести измерений несколько туманно, приведенные выше физические причины гораздо понятнее; они связаны с шестью числами, которые нужны для определения двух сохраняющихся векторов в планетарной системе.

Квантовая механика позволила вычислить энергетические уровни атома водорода при помощи этой структуры группы Ли. Результат превосходно согласовывался – и продолжает согласовываться – с экспериментом.

Итак, вот еще один дар теоремы Нётер – последний, который мы получаем, применив ее к проблеме планеты, движущейся вокруг своей звезды: теорема выявляет скрытую четырехмерную симметрию, связывающую классическую проблему с квантовой физикой атома водорода, и так, совершив отступление в область абстрактной математики, мы завершаем круг. Поскольку в воображении ученых этот атом сначала представлялся само́й системой, в которой планета вращается вокруг звезды; затем эта модель была признана несостоятельной и заменена таинственными облаками вероятностей, подчиняющимися законам квантовой теории и симметрии групп вращений в четырехмерном пространстве, которые определяли его спектр. Теперь теорема показывает нам, что сами орбиты Кеплера являются проявлениями той же самой группы вращений.

Именно ради этого и живут на свете физики-теоретики: ради внезапного осознания глубоких взаимосвязей между явлениями, которые казались в высшей степени разнородными, а теперь объединены глубокими и прекрасными математическими структурами. Открытие Нётер – эффективный инструмент, позволяющий заглянуть внутрь различных моделей Вселенной и пролить свет на их скрытые взаимосвязи.

Стоит отметить еще одну связь с современной физикой. Поскольку вектор Рунге – Ленца сохраняется, а его ориентация связана с перигелием, положение перигелия никогда не может измениться. Планета должна вечно двигаться по совершенному, замкнутому эллипсу. Это свойство силы тяготения, а равно и силы упругости; сила, хотя бы чуть иначе зависящая от расстояния, не сформирует замкнутой орбиты. Но вспомните, что перигелий Меркурия на самом деле изменяется. Расчет его прецессии был вызовом для Эйнштейна и его новой теории тяготения, а то, что он в этом преуспел, стало историческим триумфом. Перигелий Меркурия прецессирует, поскольку в общей теории относительности сила тяготения не тождественна силе тяготения Ньютона, которая приводит к формированию идеальных эллипсов. Прецессия поддается измерению, поскольку ближайшая к Солнцу планета движется по орбите внутри более мощного гравитационного поля – отсюда большее искривление пространства-времени, чем в случае других планет. Открытие Нётер показало, как сохранение энергии в общей теории относительности должно быть заменено сохранением канонического тензора энергии-импульса, что мы видели в третьей главе, поскольку во Вселенной Эйнштейна симметрии отличаются от симметрий во Вселенной Ньютона. История вектора Рунге – Ленца добавляет еще одну грань: изменение ньютоновского закона всемирного тяготения разрушает четырехмерную осевую симметрию, которую выявляет теорема Нётер, но разрушение симметрии приводит к тому, что вектор Рунге – Ленца больше не сохраняется. А это делает возможной прецессию перигелия.

Кстати говоря, Рунге, чье имя увековечено в названии вектора Рунге – Ленца, – это тот самый математический физик, который, как упоминалось в третьей главе, думал, что нашел решение проблемы сохранения энергии в общей теории относительности, но чью идею раскритиковала Эмми Нётер.

Теория представлений

В седьмой главе довольно подробно говорилось о том, как авторы стандартной модели опирались на теорему Нётер при разработке современной физики элементарных частиц. Поскольку темой книги является влияние этой теоремы, я не стал обсуждать еще одну область математики, имеющую огромное значение для теории квантового поля вообще и стандартной модели в частности – теорию представлений.

В третьей главе я затронул теорию групп как важную составляющую теоремы Нётер. Я также упомянул о наследии Нётер в области современной алгебры, которая начинается с изучения групп и переходит ко все более и более сложным структурам. А ранее в этом приложении я рассказал о любопытном эпизоде, когда Гильберт попытался подсказать Гейзенбергу и Борну, как открыть уравнение Шрёдингера, а два физика, не задумываясь, проигнорировали его совет. Все эти наблюдения и события взаимосвязаны. Объекты, на которые наткнулся Гейзенберг и в которых Борн опознал матрицы – это описание группы, являющееся отражением симметрии простой квантовой системы, которую анализировал Гейзенберг. Каждая группа (определенного вида, который оказался важным для квантовой механики) может быть описана посредством множества матриц и особого правила умножения, знакомого нам по линейной алгебре. Это описание групп посредством матриц стало самостоятельным разделом математики под названием «теория представлений».

Вейлю было что об этом сказать в его некрологе Нётер: «Именно в этом и состоит главная цель теории представлений. Теория некоммутативных алгебр и их представлений была построена Эмми Нётер на новой, чисто концептуальной основе»[472].

Упоминаемое Вейлем некоммутативное свойство – это характеристика математического оператора, при которой результат зависит от порядка операндов. Например, сложение или умножение чисел является коммутативным, поскольку 2 + 3 – то же самое, что и 3 + 2, а 2 × 3 равно 3 × 2. Упомянутый мной выше определенный вид группы таков, что его оператор умножения некоммутативен. Так обстоит дело со стандартным умножением матриц, а потому теория представлений в целом – это теория некоммутативных структур.[473]

Нётер разработала современное основание теории представлений, как и многих других областей