Есть лунный кратер, носящий имя Нётер (Nöther – так иногда пишут ее фамилию), а также астероид 7001 Noether.

Отель EMC2 в Чикаго обратился к математику и художнице Евгении Ченг с просьбой превратить вестибюль в инсталляцию в честь Нётер и ее математических открытий[492].

Наконец, в любимом ботаниками всего мира веб-комиксе XKSD время от времени упоминается Нётер[493].

Эти культурные артефакты внушают надежду. Они означают, что Нётер постепенно перестает быть фигурой, о которой неизвестно за пределами сообщества математиков и физиков, и начинает пользоваться некоторым общественным признанием. Или, по крайней мере, люди, которые, подобно автору комикса XKCD и нескольких научно-популярных книг Рэнделу Манро, одной ногой стоят в мире технарей, а другую с удобством разместили в мире массовой культуры, знают, что упоминание ее имени заставит публику улыбнуться.

Квантовые вычисления

В восьмой главе в общих чертах описывается, как теорема Нётер нашла применение в квантовых вычислениях. Тем, кому хотелось бы получше разобраться в этом вопросе, сначала надо больше узнать об идеях, стоящих за новым типом компьютера.

Во всех классических (обычных, неквантовых) цифровых компьютерах элементарной единицей исчисления является бит, состояние, которое либо существует, либо нет. Мы представляем себе бит как число, 1 или 0, или логическое значение – «истина» или «ложь». Я назвал классические компьютеры цифровыми, поскольку в реальности существуют и аналоговые компьютеры, отображающие физическую систему посредством ее моделирования с помощью непрерывных величин, а не цифровых значений типа «вкл.» или «выкл.». В наши дни аналоговые компьютеры распространены меньше, поскольку их практически полностью заменили удобные и гибкие цифровые машины. Одним из примеров, с которым вы, возможно, сталкивались, является обычная логарифмическая линейка, ныне вытесненная своим цифровым потомком, электронным калькулятором.

В современных цифровых компьютерах биту соответствует внутреннее напряжение, обычно высокое (зачастую около пяти вольт), означающее 1, и низкое напряжение (около нуля), означающее 0. В некоторых компьютерах биты вовсе не находят отражения в колебаниях электричества. Можно, например, спроектировать компьютер, используя свет или текучие жидкости. В детстве у меня была обучающая игрушка: функционирующий, поддающийся программированию цифровой компьютер, практически целиком, за исключением некоторого количества маленьких заклепок и пружинок, состоявший из пластика. Вычисления проводились вручную, посредством передвигавшихся туда-сюда ручек, запускавших рабочий цикл механизма.

Суть в том, что привычные нам электронные компьютеры – лишь одна из возможных репрезентаций классической цифровой архитектуры. Любой субстрат, допускающий накопление явно отличающихся друг от друга состояний, соответствующих 1 и 0 (битов), и манипуляцию ими, может быть цифровым компьютером. Построены они из интегральных микросхем или песка – в основе всегда лежит одна и та же идея.

Квантовый компьютер – нечто иное. Вместо бита они отображают состояние посредством так называемого кубита. Подобно классическому биту, кубит бинарен: у него два возможных состояния – но это квантовые состояния. В физике квантовым состоянием называют, например, направление спина электрона или поляризацию протона. Одна из причин, почему квантовое поведение так сильно отличается от привычной нам реальности, то, что квантовые состояния взаимодействуют и ведут себя не так, как классические состояния. Кубиты ведут себя не так, как биты.

Вероятно, вы слышали о коте Шрёдингера. Несчастное воображаемое создание, которое держат в коробке в полной изоляции от окружающего мира, с некоторой вероятностью подверглось смертельному отравлению, осуществленному посредством также полностью изолированного от окружающего мира механизма. Классическое мышление естественным образом подведет нас к тому, что кот с определенной вероятностью либо жив, либо мертв. Но это неверно. Кот существует в суперпозиции двух состояний, он не жив и не мертв до тех пор, пока мы не откроем коробку и его состояние не станет доступно наблюдению. Этот акт измерения приводит к тому, что комплексное состояние коллапсирует или декогерирует, становясь той или иной осуществившейся возможностью. В этом суть стандартного описания квантовой реальности, Копенгагенской интерпретации. Дело не в том, что кот был либо жив, либо мертв, и мы просто не знали об этом, пока не посмотрели. Скорее кот одновременно находился в обоих состояниях и ни в одном из них, и его состояние жизни или смерти не существовало до взаимодействия с окружающей средой, которое мы называем квантовым измерением.

Такое положение дел – причина многолетнего несварения желудка как у физиков, так и у тех, кто попытался найти общий язык с квантовой Вселенной; в результате постоянно предпринимаются попытки найти альтернативу Копенгагенской интерпретации[494]. Пока что ни одной теории не удалось заменить ее, дав рабочий набор понятий, которые ученые могли бы использовать при планировании и интерпретации экспериментов. В восьмой главе я описал, как теорема Нётер может помочь контролировать шум в квантовых компьютерах. Теперь мы можем конкретизировать: шум приводит к тому, что внутренняя суперпозиция состояний компьютера декогерирует.

Решетки и симуляции

Классический способ использования компьютера для симуляции, скажем, течения воды – решить уравнения динамики жидкости, используя расчетную решетку. Решетка делит пространство (одно-, двух- или трехмерное) на ячейки. Представьте, что вы рисуете на листе миллиметровой бумаги, закрашивая клеточки вместо того, чтобы свободно рисовать линии, набрасывая ваши кривые на белой бумаге. Общепринятый метод применения компьютера для решения физических уравнений – использовать виртуальный лист миллиметровки.

Таким образом, используя решетки, мы можем заменить математику бесконечно малых изменений на бесконечно малых дистанциях небольшими, но конечными изменениями в ряде обособленных областей. Это позволяет аппроксимировать математический анализ посредством арифметики (если вынести за скобки «компьютерную алгебру», компьютеры не способны к математическому анализу, но хороши в арифметике). Решетки – не единственный способ подойти к решению подобных уравнений на компьютере, но они остаются одним из основных методов.

Однако введение сеток приводит к новым сложностям. Например, при этом непрерывная симметрия реальности – симметрия пространственного сдвига и совершенная изотропность пространства – заменяется сконструированной, искуственной Вселенной с редуцированными симметриями.

Скажем, можно как угодно повернуть чистый лист бумаги и (игнорируя края) начать рисовать; вращение не приводит к изменениям. Но с миллиметровой бумагой дело обстоит по-другому: крошечные клеточки будут сориентированы иначе. В случае решетки разница есть.

На илл. 7 представлены две разные расчетные решетки. Перед нами крошечные фрагменты того, что при обычных обстоятельствах было бы в тысячи раз большей решеткой. В ходе симуляции мы определяем переменные наших физических полей в центре каждой ячейки (или, быть может, по ее краям, или возможна комбинация обоих вариантов, но в любом из этих случаев проблемы симметрии остаются неизменными).

Решетка, расположенная справа и состоящая из квадратных ячеек, в сравнении с реальным миром обладает редуцированной симметрией. Определяемое этой решеткой пространство не изотропно: у него есть лишь симметрия вращения под углом в 90 °. Справа изображена гексагональная