Ограничения следующим образом упрощают механическую систему: они сокращают количество координат, которые нам нужны для описания ее конфигурации. Но они также усложняют анализ системы с точки зрения механики, поскольку зачастую довольно сложно вычислить силы, с которыми ограничения воздействуют на подвижные части системы, чтобы те оставались… ограниченными. Поскольку эти силы сложно вычислить, сложно разобраться и в динамике системы.

Вот уже примерно 30 лет и по сей день со все возрастающей интенсивностью ведутся исследования того, как можно управлять роботами, опираясь на теорему Нётер. Роботы и сходные механизмы моделируются как динамические системы, на которые налагаются ограничения. На илл. 9 представлена простая система, но тем не менее ее детальный анализ непрост. Представьте, что вам надо контролировать положение верхнего круга, манипулируя лишь нижним – возможно, чтобы привести всю систему в равновесие с учетом силы тяготения. Это был бы непростой фокус.

Теорема Нётер упрощает анализ этих систем за счет использования дополнительных симметрий, созданных ограничениями и допущенных силами, осуществляющими контроль[499]. Из этих симметрий теорема позволяла вывести законы сохранения специально для изучаемого механизма; если нам известны эти законы сохранения, то мы можем вычислить оптимальную стратегию контроля. Этот подход потенциально позволяет контролировать робота, делая меньше вычислений, и может существенно упростить анализ, сделав возможными конструкции, которые показались бы неуправляемыми, если бы потребовалось подробно вычислять действующие в них силы. Этот общий подход применялся к целому ряду родственных проблем, в том числе к проблемам передвижения роботов и ориентации спутников.

Педагогика

Чтобы обеспечить Нётер место в истории науки, соразмерное с ее достижениям или, по меньшей мере, чтобы снять плащ-невидимку с ее репутации, нам нужно изменить то, как преподают физику на начальном и среднем уровне образования. К сожалению, складывается впечатление, что со времен моего студенчества мало что изменилось. Современные студенты-физики могут легко дожить до получения степени бакалавра, ничего не зная о теореме Нётер или ни разу не услышав о той, кто ее открыла.

Конечно, при углубленном изучении классической механики было вполне обычным делом столкнуться с разбором или упоминанием частных случаев теоремы Нётер, пусть даже имя ее при этом не всегда называлось. Например, в разделе V.I сложной, но влиятельной книги Арнольда «Математические методы классической механики» (Mathematical Methods of Classical Mechanics) есть параграф о теореме Нётер.

Однако когда я говорю, что нужно изменить подход к обучению, то имею в виду кое-что более существенное, чем «приправить традиционное преподавание вводного курса физики историческими анекдотами». Принципы симметрии и динамические выводы из них, делаемые на основании теоремы Нётер, можно вводить на более ранних этапах образовательной программы. Это не только обеспечит более универсальный взгляд на предмет, но и лучше подготовит студента к углубленному изучению гравитации и физики элементарных частиц.

Вышел ряд статей, в которых различные аспекты теоремы Нётер разъясняются на уровне, доступном пониманию усердного студента, – их авторы пытаются исправить то упущение, что стандартными учебниками эта тема в известной степени игнорируется. В некоторых из этих статей предлагаются инновационные подходы, в том числе использование интерактивного программного обеспечения, позволяющего сделать связь между симметриями и законами сохранения более очевидной для студента[500].

Благодарности

Благодарю своих детей, которым с гордостью посвящаю эту книгу. Желаю вам достичь всего, о чем вы мечтаете, и даже того, о чем ни вы, ни я не могли и помыслить.

Благодарю редакторов портала Ars Technica за то, что они опубликовали мою статью об Эмми Нётер. Из статьи, благодаря Эвану Фортунато, заметившему ее и показавшему моему агенту Сюзан Рабинер, родилась эта книга. Я также благодарен доктору Фортунато за то, что он поделился со мной деталями, как использует теорему Нётер в своих исследованиях.

Благодарю неутомимую мисс Рабинер, предложившую расширить статью, превратив ее в книгу, и работавшую со мной над планом изложения и подходом к материалу.

Я глубоко признателен библиотекарям отдела специальных коллекций колледжа Брин-Мор за то, что они помогли мне разобраться в нескольких коробках архивных материалов, относящихся к периоду, когда Эмми Нётер работала в их прекрасном кампусе. Терпеливой преданности благородной профессии библиотекаря, которую проявляют государственные служащие, работающие в вашингтонской Библиотеке Конгресса, недостаточно воздают должное. Я рад, что могу исправить эту оплошность, поблагодарив их за помощь в поиске как очевидных, так и малоизвестных сведений.

Другие преданные своему делу профессионалы, чья работа по большей части остается без признания, – это разработчики свободно распространяемого программного обеспечения (я пользуюсь только им). Моя теплая благодарность создателям и защитникам программ Pandoc, gnuplot, языка программирования Julia и графического пакета для этого языка, Luxor, а также системы Linux и культуры системных утилит GNU, которых не перечесть. К этим инструментам я обращался, чтобы подготовить для этой книги диаграммы, упорядочить ссылки, написать текст и вести исследования.

Моя незаменимая и драгоценная подруга Карина Меджиа болела за меня на протяжении всей работы над проектом. Ее эмпатия, любопытство и моральная поддержка – источник значительной части того топлива, на котором дописывалась эта книга.

Я многим обязан неподдельному интересу, проявленному к моей работе коллегой-ученым и писателем Кевином Йенсеном. Я с сожалением прощался с ним после наших – увы, слишком редких – встреч, но непременно уносил с собой новые идеи и получал новые стимулы. Я горжусь твоей дружбой.

Спасибо Синтии Лара, терпеливо сделавшей несколько десятков фотографий, силясь добиться, чтобы я достаточно презентабельно выглядел на обложке книги. В те редкие периоды, когда я не писал, ты своим присутствием вдыхала в меня новую жизнь, помогая хладнокровно встречать каждый новый отрезок лежащего передо мной пути.

Благодарю своих сестер, Мелиссу и Мередит, а также их семьи за интерес и гостеприимство на разных стадиях вынашивания книги.

За радость веселого товарищества и драгоценный отдых после многомесячных трудов благодарю Майлейшу Зелайя, Хуана Кальдерона и Патрисию Мангуйя, а также выражаю особую, теплую признательность терпеливой наставнице и верной подруге Монике Торо.

И, наконец, я бесконечно благодарен Эмми Нётер за то, что она вела жизнь, которая не может не стать источником вдохновения для всякого человека, который о ней что-нибудь узнает, и в любые времена.

Примечания

1

Wilczek F. A Beautiful Question: Finding Nature’s Deep Design. New York: Penguin Press, 2015. P. 280.

2

Lederman L. M., Hill