А вот один любопытный факт об уравнении Шрёдингера и теореме Нётер – нечто, о чем ни Нётер, ни Шрёдингер даже не подумали. Оказывается, в уравнении Шрёдингера, лежащем в основе волновой интерпретации квантовой механики, заключена одна простая математическая симметрия. Она похожа на калибровочную симметрию в уравнениях электромагнитного поля, о которой шла речь в третьей главе. Там я упоминал, что теорема Нётер показывает, как калибровочная симметрия уравнений Максвелла равнозначна принципу сохранения заряда. В случае уравнения Шрёдингера теорема Нётер показывает, что его симметрия равнозначна сохранению вероятности[467].

Современная алгебра

В шестой главе говорилось в том числе и о предмете, который Нётер преподавала и исследованиями по которому руководила во время своего трагически короткого периода пребывания в Брин-Море. Более всего ее интересовало распространение и развитие современной алгебры.

В этом разделе я с большей определенностью охарактеризую содержание этой важной области математического знания, используя пример. Во имя гармонии с главной темой этой книги пример будет касаться симметрии.

Возьмем квадрат. Нарисуйте его или просто вообразите. А теперь представьте, будто поворачиваете его относительно центра. В результате поворота под случайным углом изображение квадрата изменится, но при повороте под определенными особыми углами оно покажется неизменным. Речь об углах, связанных с симметрией квадрата. Вероятно, очевидно, что при повороте на 0 ° квадрат не изменится, как и при полном повороте – повороте на 360 °. Повороты под этими двумя углами будут иметь тот же эффект для фигуры любой формы. Теперь нужно решить, понимаете ли вы под вращением движение по часовой стрелке или против нее – это не имеет значения, покуда направление движения остается неизменным. Не приведет к изменениям также поворот на 90 ° – из-за симметричности квадрата. С изображением дома такой номер, несомненно, не пройдет. Есть еще углы, при повороте на которые квадрат будет выглядеть точно так же – углы, кратные 90°: 180° и 270° (илл. 5).

Для разных геометрических форм особые углы будут различными. Если бы мы говорили не о квадрате, а о правильном шестиугольнике, углы, при которых изображение оставалось бы неизменным, были бы кратными 30°.

Пока что мы определили пять углов, при повороте на которые квадрат остается неизменным: 0°, 90°, 180°, 270° и 360°. Но есть еще четыре: отрицательные углы, равные по модулю отличным от нуля. Эти повороты под отрицательными углами означают вращение против часовой стрелки, если вы решили, что поворот под положительным углом означает вращение по часовой стрелке, – или vice versa. Таким образом, мы получаем девять углов, соответствующих требованию, чтобы при повороте на них квадрат оставался неизменным.

До сих пор могло казаться, что это имеет больше отношения к геометрии, чем к чему-то, что можно назвать «алгеброй». Но следующим шагом будет подумать об этих девяти поворотах как о самостоятельных объектах, а о совершении поворота – как о действии. Можно посредством одного из объектов совершить действие над другим: применить поворот на 90° к повороту на 180°, например, означает то же самое, что и совершить поворот на 270°. Применение поворота на 0 ° к чему угодно оставляет объект неизменным. Также для любого поворота есть другой поворот, который его отменяет, что приводит к повороту на 0°; это всего лишь отрицательный поворот, равный по модулю первому совершенному. Например, осуществить поворот на –90° по отношению к повороту на 90° – то же самое, что совершить поворот на 0°. И еще одно: не имеет значения, как мы объединяем эти действия. Иными словами, если мы объединим поворот на 90° с поворотом на 180°, а затем возьмем результат, то есть поворот на 270° и применим его к еще одному повороту на 90°, то в результате мы получим поворот на 360°. Но можно также сначала объединить последние два поворота и применить к результату первый поворот, все равно получив тот же итог. Безразличие к тому, как объединяются действия, называется ассоциативным свойством. Оно может показаться очевидным, но имеется не у всех объектов! Так получилось, что здесь также не имеет значения порядок совершения действий, но это не так, например, в случае вращения в трехмерном пространстве.

Эти девять объектов вместе с их ассоциативным свойством, а также факт наличия нулевого элемента, который ничего не совершает, а также тот факт, что для каждого объекта есть «обратный» объект (что дает нам нулевой элемент), плюс еще один момент – все это определяет конкретный вид структуры. Этот «еще один момент» состоит в том, что наша маленькая Вселенная вращений является замкнутой: любое из девяти вращений может воздействовать на любое другое, и так мы получаем еще одно вращение из этих девяти. «Сбежать» из системы невозможно.

Такая особая структура называется группой. Это первая из структур, изучаемых в курсе абстрактной алгебры.

Суть абстрактной алгебры в абстракции. Пример с вращениями квадрата – это всего лишь пример, позволяющий конкретизировать идеи. Подлинным объектом изучения является сама группа – структура, состоящая из девяти элементов. Доказывая утверждения об этой группе, вы теперь знаете нечто о любой иной группе с такой же структурой или обо всех группах, в зависимости от допущений, на которых основана ваша теорема. Еще одним примером группы является множество всех целых чисел с операцией сложения. Это – бесконечная группа, тогда как наша группа вращений квадрата конечна. Но есть иной вид сложения, когда мы «оборачиваем» конечное множество чисел (это называется сложением по модулю). Если мы ограничим наше множество из девяти элементов, состоящее из нуля и целых чисел от одного до четырех, расположенных в положительном и отрицательном направлениях на оси координат, и «обернем» его, так что сложение чисел от одного до единицы вернет нас к нулю, то мы получим конечную группу с той же структурой, что и группа вращений квадрата. Любое общее утверждение об этой группе, истинность которого мы доказали, будет истинным для любого ее примера или для любого иного примера с подобной структурой. Именно это имеется в виду под абстракцией: алгебра абстрагирует структуры от частных случаев и доказывает общие утверждения об этих структурах.

Еще раз о силе тяготения

Во второй главе мы видели, сколь важна была для Эйнштейна способность его новой теории правильно определять смещение перигелия Меркурия. Ньютоновская теория тяготения, веками правившая Вселенной, предсказывала движение планет по неизменно замкнутым, стабильным эллиптическим орбитам – за исключением известных нарушений, вызванных другими планетами, находящимися поблизости. Смещение оси орбитального эллипса Меркурия,