Локальный закон сохранения энергии

Мы видели, как Нётер открыла свою теорему, изучая проблему сохранения энергии в общей теории относительности. Точнее, она пыталась разрешить парадоксы, которые, по мнению Гильберта, тот обнаружил, исследуя статус локального закона сохранения энергии в теории. Здесь мы подробнее разберем локальные принципы сохранения, вкратце описанные в третьей главе.

Предположим, что мы рисуем в некой области пространства круг, подобный кругу на илл. 4. Этот круг может содержать электрические и магнитные поля, находящуюся в движении воду или еще что-нибудь. Если мы будем отслеживать энергию Ef, покидающую периметр круга за определенный промежуток времени (и проникающую в него), то в сумме перенесенная энергия должна быть равна тому количеству, на которое изменилась суммарная энергия внутри круга (Ev). В этом суть принципа сохранения энергии на локальном уровне, который всего лишь означает, что энергия не создается и не исчезает, но лишь перемещается.

По сути, это простая идея. Чтобы соотнести ее с физикой сглаженных полей и веществ (например, электрического поля или воды), позволим этим окружностям стать бесконечно маленькими и заполним все пространство внутри них. Тогда условие о сохранении энергии на локальном уровне выполняется в любой точке пространства и становится дифференциальным уравнением. Дифференциальные уравнения – это, строго говоря, язык, на котором мы записываем все свои физические идеи. Они соотносят бесконечно малые изменения пространства и времени с другими бесконечно малыми изменениями. В данном случае дифференциальное уравнение ставит бесконечно малое изменение энергии в бесконечно малом объеме в соответствии ее притоку в этот объем и оттоку из него. Это абсолютно строгий учет всей энергии и ее движений в системах, где эта энергия может растекаться по пространству.

В теории электромагнитного поля Максвелла сами электрические и магнитные поля (а не только заряженные массы) могут содержать энергию (и импульс, и даже момент импульса, как упоминалось в третьей главе). Чтобы описать это, нужно настоящее дифференциальное уравнение, а не просто подсчет дискретных объектов.

Такой тип дифференциальных уравнений – уравнение непрерывности – возникает в физике повсеместно. Оно используется каждый раз, когда нам нужно сказать, что нечто ведет себя как вещество, которое может перетекать от точки к точке и которому может (или нет!) быть позволено «накапливаться» или устраняться из любой конкретной области, но которое никогда не создается и не разрушается: общее количество вещества всегда остается неизменным. Применительно к энергии уравнение непрерывности является выражением локального закона сохранения энергии. Оно также возникает в гидродинамике применительно к массе, к настоящему текучему веществу, и в этом случае выражает более древнюю идею сохранения массы. Здесь появляются две версии уравнения в зависимости от того, о каком типе жидкости идет речь. Если жидкость поддается сжатию, масса, как и энергия, может накапливаться, и потому плотность в любой точке может возрасти. Если жидкость сжатию не поддается, то разнообразие закономерностей ее перетекания ограничивается тем, что ее плотность везде остается одинаковой. Локальный закон сохранения энергии описывается дифференциальным уравнением, из которого ясно, что энергия перетекает подобно поддающейся сжатию жидкости: в любом конкретном месте энергия может снизиться или исчерпаться, но это изменение должно находить объяснение в ее движении через ближайшие границы. Подобно воздуху, энергия может перетекать с места на место, но не может появиться из ниоткуда.

Именно эта проблема, рассмотренная в рамках общей теории относительности, поставила Гильберта в тупик. Он не мог показать, что уравнения гравитационного поля согласуются с локальным законом сохранения энергии, то есть соответствующим уравнением непрерывности, описывающим поведение энергии в четырехмерном пространстве, которое Эйнштейн изобрел, чтобы у Вселенной было пространство для существования.

* * *

Сколь-нибудь подробное объяснение того, как Нётер доказала свою теорему, выходит за рамки этой книги. Однако ради читателей, которым интересно было бы проследить за рассуждением, разъясняющим класс специальных случаев этой теоремы, Ричард Фейнман не без успеха применил свой выдающийся талант толкователя. Он сформулировал сравнительно простой, отчасти графический довод, который, хотя на самом деле ничего не доказывает, по крайней мере демонстрирует, почему упрощенный, особый случай теоремы Нётер может соответствовать истине[465]. Фейнман упоминает, что он рассматривает особый случай отношений между симметриями и законами сохранения в целом, но неясно, знает ли он о существовании обобщающей теоремы, и он нигде не упоминает о Нётер. Я рекомендую читателям, которым интересно проследить за развитием семиматематического аргумента, обратиться к этому интригующему «наглядному доказательству».

Гильберт и квантовая механика

Один анекдот с удивительной наглядностью показывает, как глубоко мощная математическая интуиция Гильберта могла бы повлиять на историю физики XX века, будь к тому готовы окружавшие его физики. Хотя эта история произошла чуть позднее и уводит в область квантовой механики, стоит сделать небольшое отступление.

Гейзенберг более или менее случайно натолкнулся на первую зрелую теорию квантовой механики, когда разрабатывал правила эволюции квантовых состояний и исследовал то, что с ними происходит, когда они являются предметом измерения. Эти правила ставили его в тупик, поскольку складывалось впечатление, что здесь задействован необычный математический аппарат. Когда он показал свою теорию Максу Борну (чье имя теперь появляется рядом с именем Гейзенберга в любом учебнике по квантовой механике), тот опознал паттерны и объяснил Гейзенбергу, что он столкнулся с матричной арифметикой. Из этого стало яснее все, что касалось вычислений, но обоих продолжал смущать вопрос, какое отношение эти матрицы имели к проблемам ядерной физики, которые они пытались моделировать. Так что они обратились к специалисту.

Они показали свою работу Гильберту, который немедленно сказал им, что если они хотят лучше разобраться в теме, то могут поискать дифференциальное уравнение, для которого эти матрицы были бы характеристическими решениями (eigenfunctions)[466]. Гейзенберг и Борн не поняли, почему Гильберт рассуждает о дифференциальных уравнениях. Они решили, что зря потратили время на разговор с ним, и так и не последовали его совету. Если бы они это сделали, то открыли бы знаменитое уравнение Шрёдингера еще до Эрвина Шрёдингера. Это дифференциальное уравнение – вторая формулировка квантовой механики, называемая волновой механикой; версия Гейзенберга называется матричной механикой. Даже после первых публикаций о волновой механике потребовалось некоторое время, прежде чем была доказана равнозначность этих двух теорий. Но Гильберт практически с первого взгляда проник в суть дела и, без сомнения, мог бы вывести уравнение Шрёдингера в качестве занимательного упражнения. Но он, вероятно, думал,