Проблема состояла в том, что, доказывая свою теорему о базисе, Гильберт применил метод доказательства от противного к бесконечным множествам. В конечном счете он (по его мнению) доказал существование вещи, никоим образом ее не конструируя или не показывая читателям, что та собой представляет. До этого в рамках теории инвариантов существование всего, о чем было известно, что это существует, доказывалось посредством наглядного построения: отсюда и все трудоемкие вычисления. Гильберт осуществил то, что современные математики называют неконструктивным доказательством. Для доказательства существования вещи он обратился к логике, не делая малейших намеков на то, как эту вещь создать. Вероятно, слова Гордана о богословии пришли тому на ум из-за знакомства с такими культурными артефактами, как онтологическое доказательство существования Бога: логический трюк, из-за которого складывается впечатление, будто Бог существует без каких-либо предпосылок, причем о Его или Ее природе или свойствах практически ничего не говорится, и к ним не предъявляется почти никаких требований[446].

Во времена Гильберта многие математики не принимали неконструктивные доказательства от противного, если в них фигурировали бесконечные множества. Они настаивали на том, чтобы доказательство наглядно показывало, что при рассмотрении ничего не было упущено. Этот подход существует и по сей день: он взращивается математической школой интуиционистов; Гильберт же попадает в категорию формалистов (и при том является наиболее видным из них). В свою очередь, Гильберт считал эти возражения пустыми и официально заявлял, что вовсе не намерен отказываться от своих самых эффективных инструментов – даже если те нервируют некоторых робких математиков.

К счастью для него и для его статьи, над Горданом взял верх Феликс Клейн, к тому времени уже бывший математической суперзвездой и, по стечению обстоятельств, ответственным редактором журнала. Клейн входил в число тех, кому методы Гильберта немедленно пришлись по душе[447]. Он говорил о доказательстве Гильберта как о «совсем простом и потому логически убедительном». Именно из-за этой статьи Клейн твердо решил как можно скорее добиться переезда Гильберта в Гёттинген.

Хотя дискуссии между интуиционистами и формалистами идут и по сей день, этот эпизод закончился их примирением. Несколько лет спустя Гордан обнаружил, что не может отрицать эффективности и продуктивности методов Гильберта, и отметил, что «даже богословие не лишено известных достоинств»[448]. В свою очередь, Гильберт нашел наглядное, конструктивистское доказательство своей теоремы о базисе – доказательство, которое всех удовлетворило. Более того, настал день, когда Гильберт сам стал ответственным редактором журнала, поначалу отвергнувшего его статью. Тем временем его теорема о базисе оказалась последним на пару десятилетий интересным результатом, достигнутым в области теории инвариантов. После того, как был найден ответ на наиболее важный нерешенный вопрос теории, лишь немногим хотелось продолжать попытки взрастить что-нибудь на этой почве. Чтобы поле вновь заколосилось, потребовался ученый калибра ученика Гильберта Германа Вейля, и произошло это лишь в 1939 году[449]. Теория инвариантов здравствует и поныне, но после осуществленной Гильбертом перестановки она уже никогда не выглядела, как прежде.

* * *

Диссертация Эмми Нётер была написана как раз в характерной для теории инвариантов традиции наглядных построений. Эта работа – пример высшего пилотажа в области скрупулезных вычислений – включала таблицу, содержащую более трех сотен вычисленных в явном виде формул инвариантов. То была диссертация, способная осчастливить научного руководителя Нётер, Пауля Гордана (а также ее отца Макса, который также был видным исследователем, подвизавшимся в тех же областях математики), поскольку была написана в стиле, очень схожем с характерным для него. Вскоре она была опубликована в математическом журнале, заняв 67 страниц[450].

Через несколько лет после защиты диссертации, еще живя в Эрлангене, Нётер познакомилась с полученными Гильбертом результатами. С этого открытия началась ее трансформация, поскольку его методы ее покорили[451]. Нётер начала освобождаться от стиля Гордана; она усвоила более абстрактный подход и в конечном счете выработала собственные методы.

Специальная теория относительности

В первой главе я упомянул, как Герман Минковский нашел способ при помощи специальной теории относительности Эйнштейна описать преобразования пространства и времени как вращение в четырехмерном пространстве-времени. Само это преобразование, называемое преобразованием Лоренца, сводится к особой формуле для трех пространственных координат и еще одной – для времени: отсюда четыре измерения. Фундаментальной с точки зрения математики догадкой Минковского было то, что, если рассматривать эти отдельные формулы вместе, они являются выражением одного и того же геометрического понятия – вращения. Тот малоизвестный факт, что Фойгт был первооткрывателем преобразования Лоренца, упомянут во второй главе[452]. Об этом явлении также было известно Пуанкаре и, разумеется, самому Лоренцу. Однако им не ставят в заслугу создание специальной теории относительности, которая гораздо шире, чем формула преобразования.

Суть идеи не изменится, если мы ограничимся лишь одним пространственным измерением и временем. Этот более простой подход позволяет охватить все примеры с поездами или траволаторами в аэропортах и легко визуализировать происходящее. И мы уже видели этот пример на илл. 1 и 2. Посмотрите снова на эти схематические изображения вращения систем координат. Здесь у нас две пространственные координаты, которые мы назвали x и y. Теперь замените y временем, но не просто поменяйте одно на другое: вам придется мультиплицировать временную координату, использовав с (скорость света) и i (воображаемую единицу измерения). Так мы получаем воображаемую ось времени, дифференцированную по скорости света. Другая ось – все еще просто ось x. Минковский показал, что преобразование, происходящее внутри системы отсчета, полностью описывается вращением этой пространственно-временной системы координат. По мере ускорения поезда вы поворачиваете ее под бо́льшим углом. Точки на поезде, если проводить измерения, стоя на платформе, получают новые пространственно-временные координаты, которые мы можем вычислить, исходя из вращения.

Точно так же, как расстояние от начала координат до мяча при пространственном вращении, «расстояние» в пространстве-времени, то есть дистанция между двумя «событиями» в системе координат, является инвариантом. Таким образом, идеи теории инвариантов встречаются с теорией относительности. В уравнениях специальной теории относительности Минковский обнаружил скрытую симметрию – симметрию, которой не заметил Эйнштейн.

Когда мы поворачивали систему координат в исходном примере, я упомянул, что можно записать полученные в результате преобразования x и y как исходные координаты, используя синусы и косинусы. Преобразование вносит в координаты путаницу в том смысле, что в новую координату x, x́, подмешано нечто от координаты y, а в ý – нечто от исходного x. Такова природа вращений. Это означает, что когда пространственно-временная система координат Минковского поворачивается, к новой пространственной координате подмешивается некоторое время, а в полученном в результате преобразования времени содержится примесь пространства.

Инвариант, протяженность линии, отраженная на предшествующих диаграммах, разумеется,