Леонард Эйлер, один из величайших математиков в истории (а по мнению некоторых – величайший), дал отрицательный ответ на эту старинную загадку, заложив основы особой области математики, называемой теория графов. Критика Эйлера была примером абстракции – сквозной темы нашего рассказа. Прослеживая развитие мысли Нётер и ее подхода к математическим проблемам, мы видели, как она отказывалась от изначально усвоенной ею при обучении привычки к скрупулезным вычислениям в пользу все более и более высоких степеней абстракции. Благодаря этому она оказалась готова взяться за задачи, решение которых подвело ее к формулировке теоремы и впоследствии к тому, чтобы стать одной из важнейших фигур грандиозного дисциплинарного поля – современной алгебры, – и привнести в нее свое уникальное ви́дение с акцентом на структуре и обобщении.

Вместо того, чтобы отвлекаться на частные характеристики рек и мостов, Эйлер просит нас представить себе идеальные абстрактные структуры: сети, состоящие из точек и связей между ними. Современные математики называют такие структуры графами. Это слово не следует путать с общеупотребимым термином «график», под которым понимается диаграмма или иная визуализация. В математике граф – это сеть взаимосвязей.

То, как Эйлер взял приступом задачу о кёнигсбергских мостах, в конце концов привело к формированию особой области сугубо математических исследований – теории графов, которая сегодня переживает невероятный подъем. Прикладное ответвление этого направления исследований известно как наука о сетях. В рамках этой дисциплины семь мостов Кёнигсберга превратились в одном из типов практического применения теории в миллионы виртуальных тропок между интернет-хостами, а в другом – в сеть взаимосвязей между жертвами социальных медиа – социальную сеть.

Теория инвариантов

Научного руководителя диссертационного исследования Нётер прозвали «королем инвариантов», и именно с теории инвариантов, в то время – модной области исследований, она и начала свой путь в математике.

То была также область математики, которой занимался Гильберт, когда в 1880-х годах проживал в Кёнигсберге[439]. В течение нескольких десятилетий он вдоль и поперек исследовал эту тематику, покуда не отправил ее на следующие несколько десятилетий в нокаут, разрешив знаменитую ключевую проблему теории инвариантов.

Даже поверхностное представление о том, с чем конкретно имеет дело теория инвариантов, очень способствует пониманию того, сколь многие из главных идей, упомянутых в этой книге, связаны друг с другом. Эта теория позволяет бросить беглый взгляд на подчас почти невидимые математические нити, соединяющие старую теорию инвариантов, бурное море которой бороздила Нётер со своей диссертацией, с симметрией, двумя теориями относительности Эйнштейна, теоремой Нётер, современной алгеброй и физикой элементарных частиц.

Размышляя в Кёнигсберге о чистой математике, Гильберт не мог и вообразить, что прокладывает путь, ведущий к сокровищу, которое глубоко повлияет на науку в целом, – и что клад найдет кое-кто другой.

Чтобы лучше понять контекст, в котором обнаружили это сокровище, давайте ненадолго задержимся, чтобы разобраться в одной из предшествовавших ему теорий и немного узнать о предмете теории инвариантов. Все началось с вышедшей в 1842 году статьи Джорджа Буля, в честь которого названа булева алгебра – с ней вы, возможно, знакомы, если изучали логику или информатику. Теория инвариантов – глубокая и сложная дисциплина, составлявшая значительную часть математики во второй половине XIX века, и ее продолжают разрабатывать и по сей день.

Несмотря на сложность теории, помочь вам понять, о чем именно идет речь, может простой пример, совершенно не касающийся высшей математики. Это будет довольно-таки скрупулезное квазиматематическое рассуждение, но если вы потратите время на то, чтобы его усвоить, то сможете заметить его связь со многими другими идеями, обсуждаемыми в этой книге.

Как можно понять из названия, теория инвариантов имеет какое-то отношение к вещам, которые не меняются (остаются инвариантными), когда происходит что-то еще. На илл. 1 изображены две оси, нарисованные жирными черными линиями, заканчивающиеся стрелочками и обозначенные буквами x и y. Это названия координат, которые измеряются по этим осям. Любое положение в таком двухмерном пространстве можно точно обозначить двумя числами: координатами x и y. Так будет выглядеть любой линейный график, отражающий дефицит бюджета или температуру воздуха в месте, где вы проживаете. Кружком изображается одно из положений в пространстве; его расстояние от начала координат, точки (0, 0), в которой пересекаются оси, обозначено тонкой пунктирной линией. Как показано на илл. 2, координаты центра кружка можно определить, проведя от него перпендикуляр к каждой из осей.

Теперь рассмотрим две других оси на илл. 1 – те, что нарисованы серым. Они – как и те, что темнее – обычные оси координат, пересекающиеся под прямым углом. По сути, они представляют собой две первые оси, просто повернутые против часовой стрелки (на 22 °, но это не имеет значения). Две эти новые оси задают новую систему координат. Если вы хотите узнать координаты кружка в новой системе, процедура будет той же: опустите перпендикуляры к новым осям и определите точки пересечения. Предлагаю вам сделать это самостоятельно: вы увидите, что координаты изменились. Очевидно, что координаты x и y искомой точки не являются инвариантами относительно поворота системы координат.

Взгляните еще раз на пунктирную линию, изображающую расстояние от кружка до точки пересечения осей (илл. 2). Изучая рисунок, вы убедитесь, что как раз эта дистанция является инвариантом: при повороте осей вокруг точки их пересечения расстояние от кружка до начала координат не меняется. Другие преобразования (например, сдвиг осей вверх или вниз) изменят эту дистанцию, но пока что остановимся только на вращении. Я специально упоминаю вращение, чтобы кое-что прояснить: мы всегда говорим об инвариантах относительно некоторых конкретных наборов трансформаций (читатели-математики, вероятно, знают, что эти наборы называются группами, но сейчас это не должно нас беспокоить). Дистанция, разумеется, является инвариантом не только для этого конкретного поворота, но для всех поворотов.

В нашем описании затаились треугольники. Конкретно прямоугольные треугольники. На илл. 2 квадрат, сформированный двумя координатными осями и опущенными к ним пунктирными перпендикулярами, разделен на два прямоугольных треугольника линией, соединяющей начало координат с кружком. Мы можем сосредоточиться на любом из двух этих треугольников, и далее я буду говорить просто о «треугольнике» – годится любой из них. Расстояние, изображенное пунктирной линией, соединяющей начало координат с кружком, – это гипотенуза воображаемого треугольника; расстояния между началом координат и координатами кружка (x и y) в исходной системе координат или той, что получилась в результате поворота, – это стороны треугольника.

Если вы помните теорему Пифагора, то знаете, что квадрат гипотенузы (расстояние от начала координат до кружка) равен сумме квадратов катетов, в данном случае координат x