Две разные системы координат дают нам два разных прямоугольных треугольника. Те, что сформированы в первоначальной системе координат, имеют равные стороны, а те, что связаны с системой после поворота, – неравные. В обоих случаях гипотенузы, естественно, тождественны, поскольку пунктирная линия не меняется; но меняются координаты x и y. Когда мы поворачиваем систему координат, координата x вырастает, а y уменьшается. Поскольку теорема Пифагора верна также и для второго воображаемого треугольника, эти координаты не могут меняться случайным образом. Поскольку координата x растет по мере того, как мы поворачиваем систему координат против часовой стрелки, координата y должна уменьшаться в точности так, чтобы теорема Пифагора продолжала оставаться верной.

До сих пор речь шла о геометрии. При желании вы могли бы превратить ее в алгебру. В конце концов теорема Пифагора – это уравнение: возведенная в квадрат длина гипотенузы равна сумме квадратов длин двух катетов. Гипотенуза нарисована пунктиром, длина одного катета – x, другого – y. Можно записать два уравнения, описывающие ситуацию до и после поворота системы координат. В обоих случаях гипотенузы (то есть левая сторона уравнения) будут одинаковы. Но координаты – переменные на правой стороне уравнения – будут различаться. Чтобы ничего не перепутать, назовем их x́ и ý.

Если записать его с помощью x́ и ý, второе уравнение будет выглядеть в точности как первое; здесь нет ничего удивительного, ведь оба – это запись теоремы Пифагора посредством разных символов. Но математики, студенты-физики и некоторые другие люди знают, как превратить x и y в x́ и ý. Если система координат поворачивается под определенным углом, то можно записать комбинацию синусов и косинусов этого угла и тем самым записать второе (описывающее ситуацию после поворота) уравнение посредством x и y, а не x́ и ý. Поскольку нам известно, что в результате поворота гипотенуза не меняется, мы узнаем нечто новое: вся эта совокупность, объединяющая x, y и синусы и косинусы угла, всегда и для любого угла имеет одно и то же значение! Иными словами, это инвариант. А на самом деле мы скорее узнали, что простое выражение, сумма квадрата x и квадрата y, является инвариантным относительно вращения. Мы можем узнать этот факт из геометрического наблюдения или доказать его, прибегнув к алгебре и тригонометрии. Но геометрический анализ, опирающийся на теорему Пифагора, делает очевидно истинным то, что не столь очевидно в случае алгебраического уравнения.

И вот тут-то математик бы спросил: существуют ли какие-либо иные формулы, элементами которых являются x и y, остающиеся инвариантными при вращении системы координат? А как обстоит дело с другими преобразованиями? Что происходит при смещении или растяжении системы координат? По-настоящему классическая теория инвариантов начинается с формулировки подобных проблем. Их разработка была одной из наиболее популярных, а временами – доминирующих областей исследований, но требовала долгих и трудоемких вычислений. Вероятно, «долгие, трудоемкие вычисления» – это то, о чем большинство людей думает, когда речь заходит о математике, но такие представления являются по большей части плодом удручающей методики преподавания математики в школе[440]. На самом деле математики ищут закономерности и абстракции, помогающие им продвигаться вперед, не испытывая необходимости дотошно прорабатывать каждую деталь. По крайней мере, так работают современные математики – но это отчасти является и результатом трудов Давида Гильберта и Эмми Нётер.

Гильберт погрузился в изучение теории инвариантов по предложению научного руководителя его диссертационного исследования, Фердинанда фон Линдемана[441]. Гильберт прислушался к совету Линдемана и в 1885 году защитил диссертацию, выдвинутые в которой тезисы касались той области математики, о которой мы говорили выше: инвариантов и уравнений, содержащих возведенные в квадрат переменные (квадратичные формы).

Во время жизни в Кёнигсберге Гильберт продолжал заниматься теорией инвариантов. В 1888 году он с характерной для него самоиронией называл себя в письме к очень близкому другу, Герману Минковскому, «докой по части теории инвариантов»[442].

В том году Гильберт доказал теорему об инвариантах. Эта теорема подвела более абстрактный, лучше проработанный фундамент подо всю эту область математики и сделала некоторые из упомянутых утомительных вычислений ненужными. Теорема получила название теоремы Гильберта о базисе и стала одним из наиболее известных его открытий.

Нам не нужно разбираться, что именно он доказал, но сам факт превратился в забавный историко-математический анекдот. Когда Гильберт записал свое решение и отослал в престижный журнал «Математические анналы» (Mathematische Annalen), письмо более или менее автоматически попало в руки самого Пауля Гордана, который работал в журнале и был в нем ведущим экспертом по теории инвариантов. Гордан немедленно отклонил рукопись, ужаснувшись методам Гильберта и заявив: «Это не математика. Это богословие»[443]. Что, возможно, еще хуже, Линдеман – профессор, бывший научным руководителем диссертации Гильберта и человеком, изначально подтолкнувшим того заняться теорией инвариантов, – познакомившись со статьей, назвал методы Гильберта «unheimlich» – словом, которое можно перевести как «монструозный», «зловещий» или «странный»[444].

В математике и точных науках существует мода – в точности как мода на одежду или музыку. Законодатели моды – а Гильберт стал одним из них – часто шокируют тех, кто чуть сильнее, чем нужно, прикипел к старым образцам. Кроме того, в математике существует и эволюция критериев доказанности. Обычно она принимает форму последовательного возрастания строгости доказательства; геометрические доказательства Евклида до сих пор считаются обоснованными, но его нестрогие и интуитивные определения сегодня не прошли бы проверки.

Вопрос обоснованности оказывается особенно дискуссионным, когда речь идет о бесконечностях. В своей теореме Гильберт использовал метод доказательства от противного. Суть метода в том, чтобы принять противоположное тому, что вы пытаетесь доказать, а затем продемонстрировать, что это приводит к противоречию. Противоречие показывает, что исходное утверждение, вероятно, неверно, а потому истинным является противоположное ему утверждение – то, которое вы изначально хотели доказать. В такого рода рассуждении используется аристотелевский закон исключенного третьего: должна быть верной либо пропозиция, либо пропозиция, ее отрицающая, – другого варианта быть не может, и, если одна из пропозиций истинна, вторая должна быть ложной. Использование Гильбертом метода доказательства от противного возмутило бы меньше людей, если бы он рассуждал о конечной совокупности объектов.

В истории математики есть множество знаменитых доказательств от противного. Евклид доказал, что существует бесконечное число простых чисел, предположив противоположное – что их множество конечно, и потому можно составить их исчерпывающий список[445]. Затем он показал, что должно быть простое число, не внесенное в список, что противоречит допущению, будто этот список содержит все простые числа, тем самым доказав, что невозможно составить