Гильберт и геометрия Евклида

Как сказано во второй главе, на протяжении всей жизни Гильберт питал интерес к формальным математическим структурам. Одним из первых плодов его одержимости стала предложенная им новая формулировка геометрии Евклида[453]. Для нас особенно интересным является проницательный взгляд Гильберта на значение пятой аксиомы Евклида, аксиомы о параллельности.

Но прежде в качестве примера того, с какой ясностью он трактовал аксиомы и определения, посмотрим, как он обошелся с первой аксиомой сочинения Евклида. В оригинале древнегреческий геометр просто утверждает, что между двумя любыми точками можно провести линию[454]. По мнению Гильберта, первая аксиома была неточна. Он объяснял, что линия, которую подразумевал Евклид, была уникальна: любые две точки задают одну, и только одну линию, проходящую между ними[455]. Важнейшее свойство уникальности было в высшей степени важным для аксиоматической структуры теории.

Гораздо интереснее (мы увидим это особенно ясно позднее) то, как он заменил довольно запутанную пятую аксиому Евклида следующей формулировкой:

На плоскости α через любую точку A, лежащую за пределами прямой линии a, можно нарисовать одну, и только одну прямую линию, не пересекающую линию a. Эта прямая линия называется параллелью к линии a, проходящей через данную точку A[456].

Эту аксиому я изобразил на илл. 3, чтобы показать, что имеет в виду Гильберт. Подобную новую формулировку пятой аксиомы предлагали в 1795 году Джон Плейфэр и еще в V веке Прокл[457].

Гильберт очистил формулировку Евклида, превратив ее в более простое и ясное утверждение, которое к тому же вводит понятие параллелизма. Любопытно, что в последнее время эту аксиому также называли, например, евклидовой аксиомой о параллельности, хотя в исходной версии речь о параллелизме не шла – она его просто подразумевала. Но внимательный читатель Евклида заметит, что в своем 23-м определении он говорит о параллельных линиях, используя те же выражения, что и в пятой аксиоме[458].

Возможность построения альтернативных геометрий, где аксиома о параллельности заменится чем-то иным, в высшей степени важна для математики, на которой основана общая теория относительности. Введенное Эйнштейном в физику понятие искривления пространства-времени означает, что древняя геометрия Евклида не описывает Вселенную, в которой мы обитаем. То, как Гильберт упорядочил аксиоматическую структуру этой геометрической системы, указало математикам, какие аксиомы можно заменить, сохранив при этом непротиворечивость системы.

Эйнштейн, гравитация и геометрия

Во второй главе мы видели, как Эйнштейн, пытаясь найти математический язык для выражения новых идей о пространственно-временной геометрии реальности, был спасен своим другом Марселем Гроссманом, отыскавшим в библиотеке руководство по необходимой Эйнштейну сложной геометрии. Здесь я дам короткий, но более подробный обзор этой геометрии.

Именно Гроссман понял, что для общей теории относительности потребуется какой-то вариант геометрии Римана. Точнее, он нашел на библиотечных полках более современные версии римановой геометрии, разработанные Туллио Леви-Чивитой и другими математиками[459].

Бернхард Риман и сам сделал карьеру в Гёттингене[460]. Весьма поразительно, что умерший в 1866 году математик в своих замечаниях о геометрии Вселенной предвосхитил некоторые из идей Эйнштейна[461].

В тот период, когда после нанесенного в 1915 году визита в Гёттинген Эйнштейн предпринимал последние попытки с помощью математики Леви-Чивиты заставить свои уравнения работать, он больше не сотрудничал с Гроссманом. Его наставницей стала Эмми Нётер, которая разработала значительные разделы тензорного исчисления, чтобы сделать общую теорию относительности непротиворечивой и обоснованной[462].

Чтобы получить схематическое представление о том, что подразумевали эти новые формы геометрии, вернемся к пятой аксиоме Евклида, лучше всего – в процитированной выше, улучшенной версии Гильберта[463]. Согласно этой аксиоме, есть одна, и только одна линия, единственная линия, параллельная существующей, которая проходит через точку, не принадлежащую первой линии. Интуитивно это кажется очевидным (возможно, после недолгого размышления). Евклидова геометрия сводится к этой и четырем другим аксиомам – и, конечно, определениям. Геометрия, которая была нужна Эйнштейну, родилась, когда некоторые изобретательные математики задались вопросом, что случится, если заменить чем-нибудь пятую аксиому. По сути, варианта два: либо через точку А не может проходить линия, параллельная первой, либо таких линий может быть более одной (что, по техническим причинам, означает, что таких линий должно быть бесконечно много).

Это не так странно, как может показаться на первый взгляд. Большинство из наших интуитивных догадок в области геометрии обусловлены тем, что мы размышляем о геометрии на плоскостях: так называемой планиметрии. В этом случае аксиома кажется очевидно истинной. Однако геометрия на искривленной поверхности (например, поверхности Земли) – нечто иное.

Прежде чем рассмотреть геометрию на искривленной поверхности, нам нужно точно установить, что мы будем понимать под «прямой линией». Поскольку в целом линии на искривленной поверхности не являются прямыми и поскольку на некоторых типах поверхностей они не могут обладать бесконечной длиной, бесконечные прямые евклидовой геометрии нужно заменить чем-то более подходящим. Мы знаем, что на плоскости прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками. Естественной экстраполяцией понятия прямой линии на изогнутую поверхность было бы сохранить идею кратчайшего пути. Такие пути мы называем геодезическими. Там, где Евклид говорит о прямой линии, мы заменяем ее геодезической линией на общей поверхности. Именно так математики, разрабатывавшие неевклидову геометрию – набор геометрий, в которых пятая аксиома заменяется альтернативным утверждением, – определяли аналог прямой линии.

Возможно, вы знакомы с идеей большого круга Земли. Большой круг – это, приблизительно, тот путь, который коммерческие авиарейсы проделывают между двумя точками, поскольку это кратчайшая дистанция на поверхности Земли. Иными словами, большой круг – геодезическая линия на сфере. А на сфере евклидова аксиома о параллельных прямых не работает. Однако одна из рассмотренных нашими предприимчивыми математиками альтернатив такова: на поверхности шара нет геодезических линий, параллельных данной геодезической линии[464]. Любые два больших круга пересекаются. Геометрия на шаре – лишь один пример. Оказалось, что неевклидова геометрия, которую поначалу считали не более чем логической диковиной, была геометрией, описывавшей жизнь на искривленных плоскостях.

Эйнштейн использовал разработанный в XIX веке язык для описания тяготения как изменения метрической структуры четырехмерного пространства-времени, обусловленного присутствием массы (или энергии). Две массы двигались друг к другу не под влиянием мгновенной силы, действующей на расстоянии, но в результате того, что они двигались через пространство-время по кратчайшему пути или геодезической линии. Наблюдаемая сила тяготения была аналогом фиктивных сил, возникавших из-за изменения системы отсчета (например, центробежной «силы»). Эта идея автоматически решала загадку двух типов масс: почему гравитационная масса в точности равна инерционной? Подобно тому, как