беспардонно противоречившее классическому закону тяготения, со времен Ньютона оставалось загадкой. Как и в случае других неправильностей движения в Солнечной системе, разумно было искать причину во вносящем сумятицу влиянии неотрытой планеты – но никакой подобной планеты так и не нашли[468]. Загадка оставалась без ответа до появления общей теории относительности – пока Эйнштейн не дерзнул заявить, что дело не в лакуне в нашем перечне планет, но в наших представлениях о самом тяготении.
Помимо ключевых взаимосвязей между теорией тяготения Эйнштейна и теоремой Нётер, существует также поразительная связь между ньютоновской теорией тяготения, орбитами планет и теоремой Нётер. Эта связь показывает, как теорема Нётер может дополнить наше понимание области физического знания, выявив неочевидную симметрию[469].
Давайте представим, что во Вселенной есть лишь Солнце и Меркурий (или любая иная планета). Помните, что планета вращается вокруг Солнца, двигаясь по эллиптической орбите. Поскольку к этому моменту мы уже стали экспертами по симметриям и законам сохранения, то знаем, что в этой системе «Солнце – Меркурий» будет сохраняться энергия, импульс и момент импульса. Истинность этих законов сохранения доказывает теорема Нётер, поскольку временной сдвиг, пространственный сдвиг и симметрии ориентации – это симметрии, таящиеся в самом фундаменте наших интуиций о времени и пространстве и отраженные в уравнениях классической физики, описывающих Солнечную систему. Нам также известно, что ни одно из этих утверждений не является по-настоящему верным, поскольку их заместила опровергающая наши интуиции общая теория относительности. Но мы сейчас говорим о физике минувших дней.
Можно записать простую формулу, включающую момент импульса системы и расстояние, разделяющее два тела (в нашем примере – Солнце и Меркурий). Эта формула будет определять вектор, который можно представить как стрелку определенной длины и ориентированную в определенном направлении, поскольку расстояние в данном случае – это вектор между двумя телами, и то же можно сказать о моменте импульса (илл. 6).
Этот вектор известен как вектор Рунге – Ленца (иногда его называют вектором Лапласа – Рунге – Ленца, а иногда – просто вектором Ленца). Он ориентирован от Солнца к перигелию планеты, а его длина пропорциональна эксцентриситету (степени вытянутости) эллипса орбиты.[470]
Любопытно, что этот вектор, как в 1799 году доказал Пьер-Симон Лаплас, сохраняется при гравитационном взяимодействии двух тел[471]. По мере того как планета вращается вокруг своей звезды, вектор остается неизменным, то есть его длина и ориентация зафиксированы навечно, несмотря даже на то, что расстояние между двумя телами постоянно меняется. И хотя Карл Рунге с Эмилием Ленцем вышли на сцену гораздо позже, им каким-то образом удалось разделить славу с Лапласом. Что еще печальнее, о последнем обычно и вовсе не упоминают. Такое, увы, слишком часто происходит с названиями явлений в науке и математике.
В случае классической теории тяготения этот дополнительный закон сохранения присоединяется к законам сохранения энергии, импульса и момента импульса. Нам известно, что, согласно теореме Нётер, каждый закон сохранения эквивалентен какой-либо симметрии. В случае трех знакомых нам законов сохранения, выполняемых при движении планеты по орбите, знакомы нам и связанные с ними симметрии: сохранение энергии эквивалентно симметрии во времени и т. д. С этим новым законом сохранения также должна быть связана симметрия, и теорема позволяет разобраться, какая именно. Речь идет не об очевидной пространственно-временной симметрии, как в случае первых трех законов сохранения, но об абстрактной симметрии, описываемой конкретной группой Ли. Точнее, поскольку сохраняющийся объект – вектор, это дает нам три сохраняющиеся величины – его компоненты в трехмерном пространстве. Момент импульса дает нам три сохраняющиеся величины. При их объединении шесть сохраняющихся чисел приводят, в силу теоремы Нётер, к четырехмерной симметрии вращения.
Теорема сообщает нам нечто новое об очень старой проблеме. Веками существовала скрытая симметрия. По сути, эллипсы Кеплера являются проекциями на населяемое нами трехмерное пространство частицы, путешествующей по гиперсфере в четырех измерениях.
Но, сколь ни интересно это знать, что нам за дело?
Для многих математиков и физиков (и, возможно, и для некоторых обычных людей) «интереса» уже достаточно! Но есть кое-что еще. Скрытая симметрия вращений в четырехмерном пространстве, выявленная теоремой Нётер, – это та же самая симметрия, которую мы используем для анализа различных систем в квантовой механике, в частности – ее канонической проблемы атома водорода.
В самом начале истории нашего знакомства с атомами было открыто, что они устроены следующим образом: тяжелая, позитивно заряженная центральная часть, ядро, окружена гораздо более легкими частицами с отрицательным зарядом, электронами, и эти два компонента разделяет обширное пустое пространство. Электроны должны вращаться вокруг ядра, а не то они просто «отвалятся» – точно так же, как планеты должны вращаться вокруг Солнца. Таким образом, атом представляли как нечто, подобное крохотной Солнечной системе.
Однако это приводит к парадоксу. Электроны заряжены, и все (во всяком случае, все физики) знают, что при ускорении заряженная частица испускает электромагнитную энергию. Ускорение подразумевает изменение скорости, что означает изменение величины или направления вектора скорости. При вращении тела по орбите постоянно меняется по меньшей мере направление, в котором оно движется, а потому движущийся по орбите электрон постоянно ускоряется. Мы создаем радиосигнал, ускоряя движение электронов туда и обратно внутри антенны. Это состояние постоянного ускорения означает, что атом не мог бы сохраняться надолго. Поскольку электроны постоянно испускают энергию, энергии их орбит согласно закону сохранения следовало бы снижаться – точно так же, как встреченные нами в третьей главе вращающиеся друг вокруг друга нейтронные звезды в итоге врежутся друг в друга из-за потери энергии вследствие гравитационного излучения. Электроны довольно быстро должны упасть на ядро. Поскольку этого не происходит, первые квантовые физики придумали некоторые ситуативные правила, позволяющие «спасти» атом от аннигиляции. Они заявили, что орбиты являются «квантованными»: крохотные частицы могут существовать лишь в прерывистой череде энергетических уровней. Электронам было просто запрещено постоянно излучать энергию и с каждым оборотом приближаться к ядру. Задача решена!
Поскольку водород – самый простой из атомов, у которого есть один протон и один электрон, его больше всего исследуют, и допустимая для него череда энергетических уровней досконально изучена. Если вы нагреете немного газообразного водорода, он – как и вообще горячие предметы – начнет светиться. Но он не будет сиять всеми цветами радуги, демонстрируя непрерывный спектр. Если вы направите свет в инструмент, действующий как призма (разделяющий свет на его компоненты), то различите отдельные цвета с промежутками между ними – или, скорее, отдельные длины волн, поскольку радиация раскаленного водорода не ограничивается видимым светом. Это множество отдельных длин волн называется спектром атома водорода. Длины волн соответствуют энергетическим
