Модель Изинга определена на микромасштабе. Но допустим, что нам хотелось бы узнать, какие состояния возникают на макромасштабе. По сути дела, мы хотим расфокусировать свой взгляд и понять, какие черты все еще остаются видны. Так называемое блочное построение Каданова позволяет формализовать это действие математически. Вернемся к овцам Передура. Представьте себе, что вы некоторое время обучались магии у Мерлина и Короля былого и грядущего и обрели способность превращаться в ворону. Взлетев над полями, вы видите, что каждая из овец роняла шерсть по всему своему полю, так что теперь каждое поле приобрело цвет той овцы, которая на нем пасется. Поднимитесь на такую высоту, с которой вы едва можете разглядеть отдельные поля. А теперь воспарите еще выше – так высоко, чтобы квадрат из девяти полей казался того же размера, какого до этого казались отдельные поля. С этой высоты вам видны только скопления полей, на которых у овец один и тот же цвет. Остроумное наблюдение Каданова состояло в том, что по окончании этого процесса группирования полей и укрупнения масштаба результат имеет ту же основную форму – сочетания черных и белых квадратов. Если взять группу спинов в модели Изинга и укрупнить масштаб, получится другая группа спинов в модели Изинга. Если повторить эту операцию много раз, взлетая все выше и выше или все больше расфокусируя взгляд, останется только эмерджентное состояние. Форма этого состояния зависит от температуры магнита.

На самом крупном масштабе всем спинам выгоднее всего иметь одно и то же направление – либо вверх, либо вниз, – потому что в таком случае каждый спин будет направлен туда же, куда направлены его соседи. Это ферромагнетик: все спины сонаправлены на микромасштабе, что дает общее намагничивание на макромасштабе. Но в реальности магниты подвержены возмущающим воздействиям температуры, в результате чего некоторые спины получают невыгодное направление. У овец Передура это выражается в том, что они не всегда изменяют цвет, когда им этого хотелось бы, а иногда изменяют его, сами того не желая. При очень высоких температурах каждый спин направлен вверх или вниз случайным образом, без учета состояния соседей. Это парамагнетик, не имеющий общего намагничивания, и именно в этом состоянии изначально находятся овцы: черный и белый цвета перемешаны случайным образом. Таким образом, овцы Передура следуют сценарию, в котором находящийся при высокой температуре парамагнетик внезапно охлаждается, превращаясь в низкотемпературный ферромагнетик, – как если бы кузнец опустил раскаленный докрасна меч в бочку с водой. При некоторой промежуточной температуре должен происходить фазовый переход, разделяющий два экстремальных состояния – беспорядка и порядка.

Граница между порядком и беспорядком представляет собой фазовый переход: при увеличении температуры цвета превращаются в случайную смесь черного и белого; при ее уменьшении они начинают группироваться в сгустки, разрастающиеся по мере дальнейшего понижения температуры. Что же происходит между двумя крайностями, аккурат в точке фазового перехода? Каким будет там распределение цветов – случайным или комковатым?

Оказывается, в точке перехода происходит нечто замечательное: распределение цветов выглядит одинаково на всех пространственных масштабах. Взгляните на эту иллюстрацию. Три изображения кажутся вариациями одной и той же картины. Но на самом деле изображение в центре получено увеличением левого изображения, а изображение справа – увеличением центрального. Чистая магия, не правда ли? При наличии достаточного количества полей с овцами можно сколько угодно укрупнять масштаб, и картина будет оставаться неизменной. Такие структуры не зависят от пространственного масштаба, на котором их наблюдают (а их изменения не зависят от временного масштаба наблюдения). Это несколько напоминает мне эпизод из романа «Третий полицейский» Флэнна О’Брайана: главный герой, запертый в камере полицейского участка, рассматривает трещины на потолке и вдруг понимает, что они точно повторяют рисунок улиц города. Затем он замечает крошечного движущегося велосипедиста: это и есть улицы города, которые он видит с огромной высоты. Где-то среди них должен быть и он сам, разглядывающий еще более мелкие трещины.

Модель Изинга в критической точке

Однако реальность еще удивительнее: чтобы увидеть точное воспроизведение самого себя, узнику нужно было бы увеличить изображение на дискретную, точно определенную величину, в то время как рисунок модели Изинга в критической точке можно увеличивать и уменьшать непрерывно, в любое число раз, и он всегда будет выглядеть одинаково. Такие структуры называют «масштабно инвариантными», и они встречаются на удивление часто – нужно только уметь их искать.

Масштабная инвариантность

Некоторые привычные нам объекты обладают приблизительной масштабной инвариантностью. Хороший пример этого дают облака: издалека они выглядят белыми и мягкими и несколько похожи на «критические» распределения овец Передура; если войти внутрь облака в тумане или в мглистых горах, оно по-прежнему кажется белым и мягким; и, если рассматривать его все ближе и ближе, со все бо́льшим увеличением, облако выглядит, по сути, все так же, пока не дойдешь до уровня нескольких десятков молекул. Хотя ваш деревянный посох не обладает масштабной инвариантностью, дерево, от которого он произошел, можно с разумной точностью считать масштабно инвариантным на нескольких разных макроскопических пространственных масштабах: у дерева есть крупные ветви, расходящиеся от ствола, ветки поменьше, расходящиеся от крупных, и прутья, расходящиеся от мелких веток. Возможно, самое лучшее приближение масштабной инвариантности дает сама Вселенная: галактики образуют скопления, которые входят в скопления скоплений и так далее, и никакой пространственный масштаб нельзя назвать особым.

Теории масштабной инвариантности представляют собой точные модели непрерывных фазовых переходов. К сожалению, тот фазовый переход, который легче всего изучать самостоятельно, – превращение закипающей воды в пар – относится к первому роду и, следовательно, не обладает масштабной инвариантностью. Но и само по себе изменение масштаба познавательно и может быть использовано на практике. Когда вы нагреваете воду и она приближается к закипанию, в ней образуются мелкие пузырьки и становится слышно негромкое тонкое шипение. По мере дальнейшего нагревания пузырьки становятся крупнее, а тон шипения ниже. Звук изменяется с «шиии» на «шууу», и вы можете услышать, почувствовать и увидеть, насколько близко вода подошла к закипанию. Этот прием бывает полезен при заварке разных видов чая, требующих разных температур.

Существует старинная система названий разных стадий нагревания