Эту аналогию предложил профессор Вэнь Сяоган из MIT, выполнивший эпохальную работу по теории дробного квантового эффекта Холла. Однажды он рассказал мне, что вдохновлялся даосской идеей о том, что отсутствие вещей может быть столь же важно, как и их присутствие. Он привел пример комнаты без двери – она оказывается такой же бесполезной, как и комната без стен. Это прекрасная формулировка сущности топологии – важности отверстий, способности ценить не только присутствие, но и отсутствие[103]. Он написал учебник по физике конденсированного состояния, в котором приводит начальные строки книги «Дао дэ цзин», основополагающего трактата даосизма, составленного приблизительно за 400 лет до н. э., но в переводе на язык современной физики:
Физическая теория, которую можно сформулировать, не может быть полной и окончательной теорией.
Классификация, которую можно применить, не может классифицировать всё.
Неформулируемая окончательная теория существует и управляет образованием Вселенной.
Формулируемые теории описывают материю, которую мы видим ежедневно.
Во время учебы Вэнь занимался теорией струн, но затем переключился на физику конденсированного состояния. В 1990 году он разработал концепцию «топологического порядка», объединяющую узлы, топологические квантовые компьютеры и эмерджентные квазичастицы дробного квантового эффекта Холла.
Разрубание гордиева узла
У детей моего родного городка в Девоне, Оттери-Сент-Мэри, было много странных ритуалов. 5 ноября горожане, в том числе дети начиная с семилетнего возраста, пробегали сквозь густую толпу с зажженными бочонками смолы на спине. В июне мы праздновали День эльфов: дети, наряженные эльфами, связывали церковных звонарей и тащили их вниз по склону, к сооруженной за пределами города искусственной пещере, из которой, как считалось, происходили эльфы. А 1 мая дети участвовали в многочисленных масленичных забавах, в том числе в плясках вокруг майского дерева. Нам сейчас интересен именно этот ритуал. Майское дерево – это высокий деревянный столб, к верхушке которого привязано множество лент. Каждый ребенок берется за конец одной из лент, после чего они пляшут, кружась друг вокруг друга и вокруг столба, переплетая ленты. В одном из простых танцев половина детей движется вокруг столба в одну сторону, а вторая половина – в другую, то приближаясь к нему, то удаляясь от него, в результате чего ленты образуют переплетенный узор.
Можно представить себе, что квазичастицы дробного квантового эффекта Холла танцуют, держась за ленты. Вообразим, что магнитное поле соткано из силовых линий. Именно так об идее магнитного поля часто рассказывают ученикам, впервые встречающимся с этой темой: если положить на стол брусковый магнит и рассыпать вокруг него железные опилки, они образуют замысловатый узор, выстраиваясь вдоль силовых линий магнитного поля. Так же представлял концепцию магнитного поля и Фарадей; в архивах Королевского института в Лондоне есть оригинал его лабораторного журнала, к страницам которого он приклеил железные опилки, предварительно рассыпанные там, чтобы показать линии силового поля вокруг магнита. Чтобы понять, как ведут себя силовые линии в дробном квантовом эффекте Холла, представим себе, что магнит, направленный на тонкую полоску материала, намного крупнее этой полоски. В таком случае можно считать, что линии магнитного поля, проходящие сквозь полоску, параллельны друг другу, как бамбуковые стволы в многочисленных киноэпопеях о боевых искусствах – например в фильме «Дом летающих кинжалов».
Силовые линии магнитного поля проходят сквозь материал, как бамбуковые стволы
Персонажи таких фильмов часто грациозно порхают между бамбуковыми стволами, которые несколько сгибаются, но не ломаются: движения героев отточены почти до уровня волшебства. Силовые линии магнитного поля тоже способны изгибаться и растягиваться не разрываясь[104]. В дробном квантовом эффекте Холла электроны похожи на героев фильма, перелетающих между бамбуковыми стволами. Но их движения точно скоординированы так, что с определенным числом силовых линий непременно бывает связано определенное число электронов. Количества силовых линий и электронов одинаковы во всех наборах, и именно эти количества определяют измеряемое напряжение. Например, можно представить себе, что каждая эмерджентная квазичастица имеет вид трех электронов, связанных с двумя силовыми линиями.
В общем случае изображенные на рисунке силовые линии не соответствуют какой-либо определенной величине магнитного потока; на самом деле можно сказать только, что более плотное расположение линий соответствует более сильному полю. Но в случае второго из приведенных здесь рисунков следует считать, что каждая силовая линия соответствует точной величине магнитного потока. Эта величина, которую называют квантом магнитного потока, является универсальной природной постоянной. Квазичастицы должны содержать не только целое число электронов, но и целое число этих базовых единиц магнитного потока. Такая модель «композитных фермионов» – не единственный способ представить, как действует дробный квантовый эффект Холла, но ее, возможно, проще всего понять.
Тройки электронов, связанные с парами силовых линий
Когда частицы кружатся в танце друг вокруг друга, их ленты – силовые линии – переплетаются, и в рисунке переплетения лент набора частиц сохраняется память о том, где они были раньше. Прошлое кодируется последовательностью переплетений точно так же, как ленты пляшущих вокруг майского дерева сохраняют информацию о траектории их движений. Именно такая память дает квазичастицам способность работать в качестве вычислительных устройств. Эта память устойчива: на нее наложено защитное заклинание топологии, ибо как бы ни прыгали в разные стороны эти частицы, память об их движениях сохранится, если только их траектории не будут расплетены.
Наличие у частиц коллективной памяти – явление чрезвычайно магическое и, как и любое качественное колдовство, оно также напоминает нам, что правила существуют для того, чтобы их нарушать (см. «Правило бунтарства»). Чтобы увидеть, как это происходит в данном случае, вспомним, что любая частица является либо фермионом, либо бозоном. Один из способов понять разницу между теми и другими заключается в рассмотрении их поведения при перемене мест двух одинаковых частиц. Такая перемена может произойти по любым причинам, но в рамках этого рассуждения можно представить себе, что мы просто берем частицы и переставляем их вручную. Так вот, при перестановке двух одинаковых бозонов описывающая их квантовая волновая функция остается неизменной. Это соответствует классическому представлению о том, что при перемене мест двух совершенно одинаковых объектов конечное состояние будет неотличимым от исходного. Однако при перестановке двух одинаковых фермионов их волновая функция изменяется. Это, конечно, несколько странно, но тоже не непредставимо: если поменять местами двух одинаковых сов, смотрящих друг на друга, после этого они будут смотреть друг от друга. Однако ясно, что после двойной перестановки двух одинаковых вещей состояние должно вернуться к исходному: двойная перестановка двух предметов в одном и том же направлении аналогична обращению одного из них вокруг другого. Когда завершится полный оборот, все снова будет расположено
