Схема семи мостов Кёнигсберга, нарисованная Эйлером

Однажды я видел замечательную иллюстрацию топологии, которую приводил Данкан Холдейн. Холдейн был одним из трех лауреатов Нобелевской премии по физике за 2016 год, которой они были удостоены за «теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических состояний вещества». На одной конференции в 2015 году мне отвели место в том же кабинете, что и ему. Я заметил, что, когда ему задавали какой-нибудь вопрос, он отвечал, глядя в упор на кого-нибудь другого, – а его ответ всегда казался относящимся к другому вопросу. Иллюстрируя топологию, он показал изображение кружки и объяснил, что у нее есть одно отверстие – в ручке. Затем он показал изображение кружки с двумя ручками – так называемой «кружки для любовников». У нее другая топология, потому что в ней есть два отверстия, а потому ее могут одновременно использовать два человека. Затем он описал кружку с тремя ручками, топология которой отличается от двух предыдущих. Ее он назвал «кружкой для калифорнийских любовников».

Суть защитного заклинания топологии в том, что разрезание и соединение часто бывает делом гораздо более трудным, чем изгибание и поворачивание. Узел можно изгибать, переворачивать или трясти, но он останется тем же узлом. Тривиальный узел никогда не станет трилистником. Природа находит узлам практическое применение: известно, что миксины, походящие формой на угрей, завязывают свои тела узлом, спасаясь от хищников; птицы-портнихи связывают нити паутинного шелка узлами, когда строят гнездо; цепочки ДНК иногда образуют узлы, что, возможно, увеличивает их устойчивость.

В 1997 году российский физик Алексей Китаев выдвинул одно замечательное предложение. Представьте себе квантовый алгоритм, который можно зашифровать в виде узла. Тогда его, может быть, можно будет защитить от декогеренции так же, как кольцо дыма оказывается защищено от порывов ветра. Мировой шум никуда не денется, но квантовый компьютер будет глух к нему. Таким было первое предложение, касавшееся так называемых топологических квантовых компьютеров. Впоследствии Китаев объяснил, как завязывать такие квантовые узлы, используя магию эмерджентных квазичастиц.

Материи топологические

Если свести защитное заклинание топологии к самой сути, она такова: точно так же, как не бывает наполовину беременных или наполовину влюбленных, не бывает и половинных отверстий. Хотя может показаться, что у топологии есть только очень специализированные приложения, она имеет огромное множество практических применений в повседневной жизни. Один абстрактный пример этого дает прославленный источник древней мудрости, ставший хитом 1995 года фильм «Крепкий орешек 3: Возмездие». Несомненно, у вас, как и у меня, где-нибудь хранится заезженная видеокассета. Этот фильм популяризовал следующую головоломку. У вас есть канистра на пять галлонов, канистра на три галлона и водоем. Злодей с манией величия и неубедительным немецким акцентом угрожает взорвать бомбу, если вы не поставите на весы ровно четыре галлона воды, с точностью до унции. У вас есть всего одна попытка. Как же выполнить это задание? Немного поразмыслив, Брюс Уиллис и Сэмюэл Л. Джексон моментально находят решение. Полностью наполните пятигаллонную канистру. Вылейте из нее в трехгаллонную канистру столько воды, сколько туда поместится. В пятигаллонной канистре останется два галлона воды. Теперь вылейте всю воду из трехгаллонной канистры в водоем и перелейте два галлона, оставшиеся в пятигаллонной канистре, в трехгаллонную. Еще раз налейте доверху пятигаллонную канистру, а потом долейте из нее трехгаллонную. При этом перельется ровно один галлон воды, а в пятигаллонной канистре останется ровно четыре галлона. Йиппи-кай-эй, дорогие любители головоломок! Герои фильма превратили приблизительные оценки непрерывного диапазона в последовательность шагов, на каждом из которых канистра либо совершенно полна, либо совершенно пуста. Утверждение «канистра полна» может быть либо истинным, либо ложным: оно не может быть истинным наполовину, как не может быть половины отверстия. Они преобразовали свою головоломку в задачу по топологии.

Классический пример топологии в физике конденсированного состояния дает квантовый эффект Холла. Вспомним эффект Холла, с которым мы познакомились в главе V: берем тонкую металлическую полоску, длина которой больше ширины; пропускаем вдоль нее электрический ток и создаем магнитное поле, поднеся к ней магнит. Подключаем к боковым краям полоски вольтметр и измеряем напряжение, создаваемое в результате отклонения тока в боковом направлении; оказывается, что увеличение напряженности магнитного поля сопровождается пропорциональным увеличением напряжения. Однако в 1980 году Клаус фон Клитцинг обнаружил, что, если магнитное поле будет очень сильным, а материал – очень холодным и свободным от дефектов, непрерывного роста напряжения больше не будет. Вместо этого оно изменяется скачками и превосходно квантуется. На самом деле это происходит оттого, что квантуется проводимость самого материала. Все значения напряжения, измеренные фон Клитцингом, оказались в точности целыми кратными самой малой величины. Получить половину такого скачка так же невозможно, как получить половину отверстия. Это и есть «целочисленный квантовый эффект Холла». Величину этих скачков можно измерить с такой высокой точностью, что ее даже стали использовать для определения единиц, в которых ее измеряют.

Целочисленный квантовый эффект Холла имеет топологическую природу: сейчас полагают, что целые числа фон Клитцинга подсчитывают отверстия в самой таинственной из всех сущностей – квантовой волновой функции, описывающей электроны в веществе. Полное математическое объяснение этого эффекта весьма сложно, но понятно специалистам.

Менее понятно наблюдение, сделанное в 1982 году Даниэлем Цуи и Хорстом Штёрмером: в еще более чистом и еще более холодном материале значения напряжения перестают быть целыми кратными этой минимальной величины, а становятся ее дробными кратными. Третью, двумя пятыми, пятью половинами и так далее. Это дробный квантовый эффект Холла; это заклинание мы еще изучаем, но физики уже начали сплетать свои повествования о нем.

Казалось бы, появление дробных чисел противоречит главному завету топологии. Что происходит, когда напряжение равно, скажем, одной трети наименьшей целой величины? Можно ли получить треть отверстия? Нет, нельзя. Но вспомним заклинания деления, магию фракционализации: при взаимодействии многих частиц результат может быть похож на дробную часть одной частицы. В физике конденсированного состояния можно получить треть электрона – или во всяком случае квазичастицу, похожую на нее. Дробный квантовый эффект Холла тоже можно интерпретировать как подсчет отверстий в волновой функции, но речь уже не идет о волновой функции электронов; это волновая функция эмерджентных квазичастиц, заряд которых равен трети заряда электрона.

Многие из самых интересных состояний вещества подразумевают координацию огромного числа электронов, движущихся будто бы в тщательно отрепетированном танце. Дробный квантовый эффект Холла – лишь один из таких примеров. Магнитные поля заставляют заряженные частицы – например те же электроны – двигаться по кругу. Танцоры кружатся друг вокруг друга, причем все они кружатся вокруг остальных одновременно. Разные напряженности магнитного поля определяют, сколько шагов требуется каждому танцору для завершения круга.