Представьте теперь, что вы снижаетесь, чтобы рассмотреть вблизи один из этих островов, и вновь обнаруживаете тот же паттерн: остров состоит из более мелких островов – с водными преградами и разделяющими их перешейками.

Этот пример иллюстрирует один из видов масштабной симметрии. Удивительно, но некоторые системы в некоторых отношениях не меняются, когда вы их увеличиваете. Такого рода симметрия отличается от пространственно-временной и других симметрий, о которых обычно говорят физики, и не входит в число симметрий, рассмотренных Нётер. Однако, поскольку ее теорема касается симметрии на уровне абстракции и не ограничивается симметриями пространства и времени (например, приведенными немного выше примерами калибровочных симметрий), любая вновь открытая симметрия потенциально оказывается важной. Если ее можно вписать в математическую систему теоремы Нётер, то можно доказать, что она эквивалентна какому-то закону сохранения. Как в обсуждавшемся ранее случае стандартной модели, новые законы сохранения могут привести к новым предсказаниям касательно природы.

Оказывается, что масштабная симметрия – нечто большее, чем существующая в нашем воображении идея. Некоторые биологи убеждены, что ряд природных нейронных сетей, в том числе мозг, демонстрируют какую-то форму масштабной симметрии. Исследователи уже связали это свойство с другими – например, эффективной передачей сигнала в сети.

Возможность наличия масштабной симметрии в нейронной сети мозга уже вышла на уровень детального экспериментального изучения. Несколько лет назад группа нейробиологов и физиков из Лондона и Цюриха провели совместное экспериментальное и теоретическое исследование масштабной инвариантности в мозгу животных[427]. Исследуя эту проблему математически, они использовали теорему Нётер для выведения ряда сохраняющихся величин, имеющих отношение к симметрии масштабной инвариантности. Эти сохраняющиеся величины не входят в число знакомых нам (например, энергии и импульса), но ученые нашли для них особые формулы. Затем они обнаружили, что некоторые из измеряемых ими свойств мозговой деятельности животных подчинялись выведенным ими законам сохранения.

Это было первым исследованием законов сохранения для масштабной инвариантности с помощью теоремы Нётер. Эти находки могут открыть новые направления исследований в физике и задать курс для будущих исследований биологических нейросетей.

* * *

Разумеется, в 1917 году никто и помыслить не мог о компьютерах. Я не буду пытаться фантазировать, что подумала бы Нётер, увидев эти машины, доживи она до их появления. Возможно, она бы нашла способ задействовать их на начальном этапе своего математического пути, полного утомительных вычислений. Но после того, как она решительно перешла к более абстрактным формам математической мысли, у нее сформировалось столь пренебрежительное отношение к ее более ранней работе, что она сознательно говорила о своей докторской диссертации в не вполне печатных выражениях. Компьютеры ей, вероятно, перестали бы быть нужны.

Что же тогда следует из того, что ее теорема оказалась напрямую связанной с самыми передовыми современными исследованиями в нескольких областях применения компьютеров в научных исследованиях? Это напоминает нам об огромной силе математической абстракции. Глубокая мысль, обнаруживающая связи между идеями, о которых никто и не подозревал, обладает непреходящей ценностью. Теорема – вечная истина. Теорема Пифагора до сих пор используется по всему миру бесчисленное количество раз за день спустя тысячелетия после того, как ее впервые записали на песке в Древней Греции. Теорема Нётер никогда не впадет в забвение. Те, кто постигнет ее через тысячелетия после нас, найдут новые области, на которые она проливает свет – точно так же, как современные ученые, работающие спустя столетие после того, как она была доказана, применяют ее в областях, которые Нётер и ее друзья даже и представить себе не могли.

Совсем недавно теорема Нётер нашла применение в квантовых вычислениях[428]. Исследования в области квантовых компьютеров движимы теоретической возможностью, что определенные виды вычислений можно будет выполнять в тысячи раз быстрее, чем способен любой компьютер, построенный по привычным нам (классическим) принципам. Способом, позволяющим ускорить вычисления для компьютеров любого вида, является выполнение как можно больших объемов работы параллельно, поскольку степень ускорения работы отдельных процессоров замедляется из-за существования неизбежных физических ограничений. Именно поэтому у вашего ноутбука многоядерный процессор, и именно поэтому масштабные симуляции сложных систем (скажем, атмосферы) выполняются на суперкомпьютерах с тысячами процессоров.

В квантовом компьютере параллелизм достигается за счет применения физики квантового пространства, где множество потенциальных возможностей сосуществует до тех пор, пока одна из них не избирается в ходе измерения. Пока идет вычисление, важно, что компьютер и его внутренние квантовые состояния изолированы от окружающей среды. То есть (если вынести за скобки начальный этап, на котором операторы определяют задачу, и конечный, когда они зачитывают результат) во время проведения вычисления компьютер должен оставаться изолированным. Взаимодействия между двумя этими моментами могут потревожить или разрушить суперпозицию состояний, необходимую для поддержания параллелизма. В контексте квантовых вычислений эти нежелательные взаимодействия с окружающей средой называют шумом. Устранение шумов – одна из центральных проблем при проектировании квантовых компьютеров.

Физик Эван Фортунато и его соратники с 2002 года опубликовали серию работ (которую открывала диссертация самого Фортунато), касающихся общих вопросов коррекции ошибок в квантовых компьютерах. Методы Фортунато основаны на теореме Нётер[429]. Если не вдаваться в подробности, он обнаружил, что существенные компоненты взаимодействия шума и системы характеризуются определенными группами симметрии. Посредством теоремы Нётер он смог соотнести эти симметрии с подпространствами сохраняющихся квантовых состояний и использовать эти взаимосвязи как теоретическую базу для контроля вычислений.

Когда он рассказывал мне о своей работе, было ясно, что Фортунато считает теорему Нётер ключом к успеху своей исследовательской программы. Он предполагал, что другие, кто действовал без основанных на ней предположений, вынуждены были долго идти кружной дорогой, тогда как ему удалось срезать путь.

Теорему Нётер использовали также для прояснения проблем, возникающих при работе обычных, неквантовых компьютеров. Ученые и инженеры регулярно используют компьютерные симуляции для предсказания погоды и изменений климата, проектирования самолетов, изучения гравитационных взаимодействий галактик и решения великого множества других задач. Во многих алгоритмах, лежащих в основе этих симуляций, гомогенное, изотропическое пространство, в котором мы живем, представлено в виде какого-либо рода решетки – чего-то, напоминающего линии и клетки на миллиметровке.

В этой Вселенной вычислений объект (атом, самолет или планета) не могут плавно скользить в любом направлении, как они могут это делать в реальном (классическом) мире. Вместо этого они должны перепрыгивать из клетки в клетку заранее нарисованной решетки, как во время игры в шашки.

Эта «решетчатая» Вселенная не обладает симметрией реального пространства: она изменяется при вращении или сдвиге – ровно как кусочек миллиметровки после поворота будет выглядеть иначе: линии окажутся в наклонном положении. Поэтому (классические) законы сохранения, которые, согласно теореме Нётер, эквивалентны этим пространственным симметриям, в компьютерных