В целом работа Нётер стала приобретать бо́льшую известность в Америке начиная с 1920-х годов, благодаря сочинениям Освальда Веблена, который в 1927 году опубликовал трактат (так называемый «Кембриджский трактат») о дифференциальных инвариантах[367]. Примерно в то же время Веблен переписывался с Нётер, но она сообщила ему, что больше не занимается никакими исследованиями, связанными с теоремой (которую мы сейчас зовем теоремой Нётер), поскольку погрузилась в изучение других областей математики.

В 1930-х важные шаги предпринял Вернер Гейзенберг – человек, который ввел в квантовую механику знаменитый принцип неопределенности. Этот принцип впервые объяснял, каким образом природа наложила фундаментальные ограничения на точность, с которой могут быть одновременно известны конкретные пары свойств. Вейля интересовало преподавание математики, необходимой для понимания общей теории относительности и объяснения того, какое отношение пространственно-временные симметрии имели к законам сохранения в теории Эйнштейна (как показала Нётер). Гейзенберг размышлял о симметриях, связанных с внутренними состояниями элементарных частиц – более абстрактный род симметрии, родственный калибровочной симметрии электромагнетизма, описанной в третьей главе. Таким образом, он сделал большой шаг в направлении современной физики элементарных частиц и стандартной модели.

Во время Второй мировой войны эти в высшей степени теоретические исследования были, что вполне понятно, поставлены на паузу. С 1950-х годов начался всплеск активности в области физики элементарных частиц, и каждый год выходили важные статьи на эту тему. Каждый решал свою часть головоломки. Казалось, что мозаика сложилась к 1974 году, когда на конференции, посвященной физике высоких энергий, Джон Илиопулос прочитал «Пленарный доклад о прогрессе в области калибровочных теорий» (Plenary Report on Progress in Gauge Theories). Его выступление было первым случаем, когда кто-то собрал из имеющихся фрагментов логичную, всеобъемлющую модель фундаментальных составляющих материи и действующих между ними сил; она стала известна как стандартная модель[368].

Калибровочные теории, о которых говорил Илиопулос, – это класс теорий поля, для которых характерен особый тип симметрии. Первый пример, появившийся в физике – максвелловская теория электромагнетизма. Вспомните рассказанную в третьей главе историю о птице на высоковольтном проводе и о том, почему она не погибает. Поскольку физическое воздействие оказывает лишь разница в напряжении, то к величине напряжения можно добавить некое число, константу, и при этом ничего не изменится. Возможность трансформации, которая не приводит к изменению результата – определение симметрии. Как объяснялось выше, тип симметрии, демонстрируемой электрическим потенциалом, называется калибровочной симметрией, а обладающие такой симметрией теории поля называются калибровочными.

В своей статье 1918 года Нётер изобрела понятие калибровочной теории, проводя анализ, имевший для дальнейшего развития физики такое неоценимое значение, что математик и историк Иветт Косман-Шварцбах называет его «провидческим»[369]. Полученные Нётер результаты показали, что общая теория относительности была примером калибровочной теории[370]. Калибровочным теориям предстояло стать образцом для большинства последующих физических теорий, включая стандартную модель физики элементарных частиц и большинства предложенных ее расширений и попыток объединения с теорией тяготения – например, теории струн[371].

В опубликованной Шелдоном Глэшоу в 1961 году статье, о которой часто говорят как о первом толчке к созданию стандартной модели, теорема Нётер напрямую не упоминается. Тем не менее автор намекает на нее: «В традиционной лагранжевой формулировке теории квантового поля широко известно о существовании взаимосвязи между симметриями функции Лангранжа и законами сохранения»[372].

Это замечание Глэшоу весьма красноречиво. Поскольку теорема Нётер касается как раз симметрий «функции Лангранжа» и в силу их взаимосвязей с законами сохранения (факт, о котором основоположник стандартной модели говорит как о «хорошо известном»), теорема очевидным образом с самого начала закладывает фундамент стандартной модели. Не столь понятно, знали ли Глэшоу и его коллеги о происхождении и истории открытия, на которое они полагались, или о его абсолютной математической универсальности – по меньшей мере, в период, когда писали первые статьи на эту тему.

В 2020 году Глэшоу оглянулся на историю стандартной модели, в создании которой сыграл столь заметную роль, в технической, но полезной статье, опубликованной в научно-реферативном журнале, главным редактором которого он является[373]. Сначала он на протяжении нескольких абзацев резюмирует содержание теоремы Нётер и то, насколько она важна – сперва применительно к пространственно-временным симметриям, с примерами из классической механики, а затем – применительно к внутренним симметриям элементарных частиц – проблема, изначально изучавшаяся Гейзенбергом. Безусловно, складывается впечатление, будто создатели стандартной модели начали с сознательной программы применения теоремы Нётер к симметриям свойств элементарных частиц.

В ключевых статьях 1950-х, 1960-х и 1970-х годов, выводы которых в конечном счете были включены в стандартную модель, мы, несомненно, видим повсеместное применение программы Нётер. Во всех статьях используется одна и та же методология: создание, комбинирование и расширение симметрий и вычисление следствий из этих симметрий для законов сохранения, что подчас ведет к предсказанию существования новых частиц. Именно эту методологию я и имею в виду, говоря о программе Нётер.

У этих статей есть еще одно интересное общее свойство: в них редко непосредственно цитируется теорема Нётер, будь то примечания или текст[374]. Практически ни в одной из важных статей, написанных ключевыми игроками на этом поле – Шелдоном Глэшоу, Ричардом Фейнманом, Джулианом Швингером, Марри Гелл-Маном, Вольфгангом Паули, Питером Хиггсом, – не упоминается теорема Нётер, хотя они регулярно ее используют. В ряде других статей, которые, хотя и имели к предмету прямое отношение, не принадлежали к магистральной линии развития данной области, есть несколько примечательных исключений.

В 1972 году математик и историк математики Кларк Г. Кимберлинг опубликовал статью, в которой отмечал недавний «всплеск интереса к Эмми Нётер и ее математике»[375]. Он замечает, что, несмотря на ее очевидное влияние, складывается впечатление, что о ней редко упоминается в сочинениях по истории математики – факт, на который я, возможно, уже указывал в этой книге. Заинтересовавшись тем, что он услышал о значении работы Нётер для физики, Кимберлинг сумел связаться с именитым физиком Юджином Вигнером, который сказал ему: «Ее вклад в физику <…> касается физических законов сохранения, которые она вывела способом, в то время неизвестным, способом, который должен был произвести на физиков большее впечатление, чем он на деле произвел. Однако большинство физиков почти ничего больше о ней не знают, хотя многие из нас, испытывающие хоть какой-то интерес к математике, читали гораздо больше ее работ и работ, посвященных ей».

Кимберлинг также отмечает, что в учебнике Херберта Голдштейна, по которому большинство физиков того времени углубленно изучали классическую механику, широко используется вариант теоремы Нётер, но ее имя ни разу не называется.

Здесь Вигнер подтверждает тот вывод, к которому подводит мой