Ознакомительная версия. Доступно 26 страниц из 142
приведённых примерах служили последовательно множество возможных ростов, множество возможных весов, множество всех людей, множество всех цветов, множество всех существительных, множество всех окончаний, множество всех слов некоторого языка. А областями прибытия – множество возможных весов, множество возможных ростов, множество всех цветов, множество всех людей, множество всех окончаний, множество всех существительных, множество всех слов некоторого языка[118].
Чтобы задать соответствие, недостаточно, конечно, указать область отправления и область прибытия; надо ещё указать, какие элементы области прибытия каким элементам области отправления соответствуют. Если взять наугад какой-то элемент a из области отправления и какой-то элемент b из области прибытия, то элемент b, конечно, может и не соответствовать элементу a. Чтобы указать, какие элементы каким соответствуют, надо, следовательно, из всех пар <a, b>, где a – элемент области отправления, а b – элемент области прибытия, выделить такие, в которых b соответствует a. Для этого достаточно, очевидно, указать множество таких «хороших» пар. Заданием этого множества (вместе с заданием областей отправления и прибытия) соответствие полностью определяется. Поэтому соответствие естественно определить (как это и делается при уточнении этого понятия в математике) просто как тройку множеств: область отправления, область прибытия и некоторое множество пар элементов из этих областей (первый член пары должен быть из области отправления, а второй – из области прибытия). Поскольку пары и тройки суть просто частного вида кортежи, понятие соответствия оказывается выраженным через понятие множеств и понятие кортежа.
Функция
Само слово «функция» встречается уже в школьном курсе математики. Однако расшифровка этого слова оказывается не таким простым делом, поскольку, как можно заметить, слово «функция» употребляется в несколько различающихся смыслах.
В обычной, классической, математике известны два основных направления, по которым происходит осмысление понятия функции[119]. Первое направление – исторически более раннее и, пожалуй, даже сейчас более распространённое – ориентировано в основном на традиционно трактуемые технические и естественно-научные приложения математики и опирается на понятие переменной величины; второе – более современное и более точное – не использует этого понятия вовсе (в то же время второе направление способно обслужить как все традиционные приложения математики, так и ещё много новых, возникших за последнее время).
Первое направление. Именно первое направление отражено, например, в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд.), где статья «Функция»[120] начинается со следующей дефиниции: «Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других».
В рамках данного направления, в свою очередь, можно выделить два подхода, первый из которых (опять-таки более ранний и, возможно, более распространённый) скорее соответствует точке зрения физиков, второй – точке зрения математиков[121].
Первый подход состоит в истолковании функции как переменной величины. Именно такое истолкование принято в средней школе. «Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины»[122]. Подобное определение функции принято и в ряде авторитетных вузовских учебников[123], и в Большой Советской Энциклопедии, где следующая за дефиницией фраза в только что упоминавшейся статье «Функция» гласит: «Если величины x и y связаны так, что каждому значению x ответствует определённое значение y, то y называют (однозначной) функцией аргумента x». Как видно из исторического обзора в конце названной статьи, аналогичные формулировки встречались ещё в XIX в. и восходят к ещё более ранним представлениям.
Второй подход состоит в истолковании функции как закона, но также связанного с понятием переменной величины (и с разделением переменных величин на «зависимые» и «независимые»): «Закон (правило), по которому значениям независимых переменных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией»[124].
Приведённые формулировки нельзя, конечно, считать отчётливыми. Для их уточнения требуется предварительное создание достаточно нерасплывчатой системы представлений о переменных величинах. Создание такой системы если и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использования в качестве исходных таких понятий, как 'величина' и 'изменение во времени'[125], т. е. вне рамок теоретико-множественной концепции.
Второе направление. Принципиально иной путь связан с отказом от переменных величин. Он приводит к более широкому понятию функции, поскольку разрешает рассматривать функции не только от «величин» (заметим вскользь, что попытки уточнить, что такое «величина вообще», приводят к значительным трудностям). В рамках этого второго направления можно опять-таки различить несколько подходов, а точнее, по меньшей мере три. Первый подход определяет не самоё функцию, а лишь, так сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при которой разрешено говорить, что имеет место функция; второй подход трактует функцию как правило или закон, третий – как соответствие.
Первый подход характерен для руководств по теории множеств и общей теории функций. Вот, например, что говорит о функции П. С. Александров в уже цитировавшейся нами книге[126]:
Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин пишут:
В [математическом] анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу x ∈ X поставлено в соответствие определённое число y = f (x). При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией – её областью значений.
Если теперь вместо числовых множеств рассматривать множества какой угодно природы, то мы придём к самому общему понятию функции, а именно: пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу x ∈ M поставлен в соответствие один и только один элемент из N. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых функций) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое[127].
Как мы уже говорили, приведённые (и широко распространённые подобные им[128]) формулировки оставляют само понятие функции неопределяемым. Здесь определяется не что такое функция, а лишь некоторое правило употребления этого термина. Что же такое функция и когда о двух функциях можно говорить как об одной и той же функции – это остаётся неопределённым. Разумеется, такая точка зрения вполне правомерна[129].
Однако правомерно и стремление определить самоё функцию (причём не используя понятия переменной величины). Попытки определить функцию как правило или закон[130], посредством которого для каждого
Ознакомительная версия. Доступно 26 страниц из 142
